FFT(快速傅里叶变换)是一种非常重要的算法，在信号处理、图像处理、生物信息学、计算物理、应用数学等方面都有着广泛的应用。在高速数字信号处理中，FFT的处理速度往往是整个系统设计性能的关键所在。FPGA(现场可编程门阵列)是一种具有大规模可编程门阵列的器件，不仅具有ASIC(专用集成电路)快速的特点，更具有很好的系统实现的灵活性。基于FPGA的设计可以满足实时数字信号处理的要求，在市
场竞争中具有很大的优势。因此，FPGA为高速FFT算法的实现提供了一个很好的平台。

1 FFT算法的硬件实现
1．1 系统框图
    本设计利用流水线技术来提高系统的性能，系统框图，如图1所示。其中，地址产生单元生成RAM读写地址，写使能信号以及相关模块的启动、控制信号，是系统的控制核心；4点蝶形运算单元的最后一级输出不是顺序的；旋转因子产生单元生成复乘运算中的旋转因子的角度数据；旋转因子ROM中预置了每一级运算中所需的旋转因子。

    在FPGA设计中，为提高系统的运行速度，而将指令分为几个子操作，每个子操作由不同的单元完成，这样，每一级的电路结构得到简化，从而减少输入到输出间的电路延时，在较小的时钟周期内就能够完成这一级的电路功能。在下一个时钟周期到来时，将前一级的结果锁存为该级电路的输入，这样逐级锁存，由最后一级完成最终结果的输出。也就是说，流水线技术是将待处理的任务分解为相互有关而又相互
独立、可以顺序执行的子任务来逐步实现。本设计中，4点蝶形运算单元、旋转因子复乘模块以及最后的精度截取模块采用流水线技术来处理。
1．2 基4蝶形运算算法原理
   
    式(1)为基4蝶形运算单元的一般表达式，其中，，N为FFT运算的点数，本设计中为1 024，p为旋转因子W的相位角，其规律将在1.4节讨论。X(0)、X(1)、X(2)、X(3)为原始数据，顺序输入RAM后蝶形倒序输出，与旋转因子复乘再进行4点蝶形运算，而X1(0)、X1(1)、X1(2)、X1(3)即为第1级蝶形运算的结果。此时RAM存储的原始数据已经清空，将第1级蝶形运算结果再存回RAM中，按照一定的地址输出后，与第2级的旋转因子复乘、4点蝶形运算，得到第2级蝶形运算结果，依此类推。由于蝶形运算为同址操作，所以第2级的RAM写地址即为第一级的RAM读地址，每一级的RAM读地址规律将在1．3节中讨论。
    1024点的基4-FFT共需要5级蝶形运算，每级需要计算256个蝶形，其传统实现框图如图2所示。

    考虑到第一级蝶形运算不需要旋转因子，所以第一级的旋转因子复乘模块可以省略，但本设计的硬件结构需要循环利用，一般情况下，可以对第一级数据进行×1运算，再进行4点蝶形运算。不过，考虑到我们并不关心每一级蝶形运算后的结果，本文提出了一种蝶形运算的新结构：即先进行前一级的4点蝶形运算，再进行本级的与旋转因子复乘运算，如图3所示。

    可以看出，图3减少了一个旋转因子复乘模块，不但节约了一次乘法运算时间，也省略了第一级旋转因子，更好地利用了硬件结构。
    首先，在QuartusⅡ环境中对4点蝶形运算时序仿真，采用流水线设计，连续输入连续输出，仿真结果如图4所示。

    由图4可以看出，输出比输入延时6个时钟，这在系统的控制核心地址产生单元的设计中需要考虑到。
1．3 地址产生与时序控制
    对于1 024．点基4 FFT运算，需要5级蝶形运算，每一级运算都要有写地址和读地址，根据FFT同址运算的特点可知，当前的写地址即是上一级蝶形运算的读地址。因此完成FFT运算需要设计6级RAM地址。其中第1级的写地址即是数据输入的顺序地址，不予讨论。最后一级读地址为数据正序输出所需的地址。其余4级为1 024点数据对应的FFT蝶形运算。
    第一级读取节点地址的顺序应该是：(0，256，512．768)，(1，257，513，769)，……，(255，511．767，1 023)。易观察其读地址的规律如下：设读取次序的二进制编码为bit[9：0]；则读地址的二进制编码为{bit[1：O]，bit[9：2]}，并且依次可以推出第2、3、4级的读地址二进制编码分别为{bit[9：8]，bit[1：0]，bit[7：2]}，{bit[9：6]，bit[1：0]，bit[5：2]}、{bit[9：4]，bit[1：0]，bit[3：2]}，而最后一级输出数据的地址二进制编码则为：{bit[1：0]，bit[3：2]，bit[5：4]，bit[7：6]，bit[9：8]}。图5给出了第1级读地址和第2级读地址的部分数据，也可以看出第2级的写地址即是第1级的读地址。

    图1中的地址产生单元作为系统的控制核心，不仅要生成每一级的RAM读写地址，还要产生RAM写使能信号、输出有效信号以及4点蝶形运算单元和旋转因子产生单元的启动信号，由于时序电路还需要考虑器件延时，例如上文提到的4点蝶形运算输出比输入延时6个时钟，以及RAM存取数据输出比输入延时1个时钟，这些都需要在控制核心中考虑到。
1．4 旋转因子产生
    对于1 024点FFT蝶形运算，需要1 024个旋转角度(即2π的1 024等份)，其中第一级不需要复乘运算，第6级只是将数据进行整序没有运算单元，其他4级都需要旋转因子。本设计采用将旋转因子预置于ROM中，通过查找表方法得出每一级运算的所需的旋转因子。根据旋转因子的可约性，后几级运算所需的旋转因子都可以在第一级运算的旋转因子中找到，因此无需另外存储。旋转因子在ROM中的存储规律是：旋转因子相位角p处存储旋转因子W=*****。定义一个10 bit的计数器count[9：0]，则第2、3、4、5级ROM的相位角规律按照Verilog语法可表示为

    为了节省资源，本设计只在ROM单元中存储了前256个旋转因子数据，即第一象限因子其余象限的因子可通过象限转换后得到，这样就大大节省了存储单元的硬件资源。图6为旋转因子产生单元在QuartusⅡ环境中仿真结果的部分数据。

2 系统仿真结果
    输入数据为s=1 024×cos(2π×f_in×t)，其中f_in=50 M，Fs=80 MHz，n=40，t=0：1／Fs：(n-1)／Fs，利用QuartusⅡ软件对系统在100 MHz的时钟环境下进行了仿真，将仿真输出结果转换成tbl文件并利用Matlab软件读取后，得到如图7所示的频谱数据图(实部数据部分)。

    图8所示为Maflab自带FFT函数对于输入相同1 024点数据的FFT计算结果(同样为实部数据部分)。
    通过比较可以看到，本设计的仿真结果与Matlab的仿真结果基本一致，可以正确高效地计算出1 024点FFT数据。

3 结束语
    本设计全部由Verilog HDL语言实现，采用自顶向下的设计方法，完成了一种基于FPGA的1 024点16位FFT算法，共需要5级运算，每级需要计算256个蝶形。提出了将蝶形运算先进行前一级的蝶形加减运算，再进行本级的与旋转因子复乘运算的结构。由前所述，平均每个蝶形运算需要4个时钟周期，所以理论上完成1 024点FFT的总时钟周期为N=256×4×5=5 120；假设使用的时钟为100MHz，那么将耗时T=5 120×(1／100)=51．2μs，这与仿真结果51．32μs基本一致。