摘 要： 根据新一代GPS标准，建立了符合最小区域条件的圆柱度评定的数学模型。提出了一种带交叉算子的改进粒子群优化算法，并以此对圆柱度测量数据进行最小区域评定，给出了该算法的实现方法。经实例验证，该方法可以在新一代GPS标准下更快速、准确地评价圆柱度误差。
关键词： 新一代GPS；圆柱度；评定；粒子群优化算法；交叉算子
随着现代精密和超精密加工技术以及纳米技术的迅速发展与应用，对机械产品制造精度的要求不断提高。传统的以几何学为基础的第一代产品几何技术规范由于在误差评定模型、数据采集方法等方面存在经验性、随意性等缺点，已经不能完全适应现代制造业对误差评定既准且快的要求[1]。近年来，随着以计量学为基础的新一代产品几何技术规范GPS(Geometrical Product Specification and Verification)系列标准的出现，对形状误差的规范评定提出了新的要求。
在形状误差的几种要素中，圆柱度误差作为衡量轴类零件形状误差的主要指标，其精度的高低对产品的质量及其使用寿命有着至关重要的影响，能否实现圆柱度误差快速、准确的评定具有重要的实际意义。因此，本文以圆柱度精度检测为例，依据新一代GPS形状误差规范认证标准，提出一种带交叉算子的改进粒子群优化算法应用于圆柱度测量数据的最小区域评定。该算法借鉴了遗传算法中的选择交叉操作，通过交叉增加粒子多样性，充分利用群体粒子的优良特性，跳出局部最优的同时也加快了收敛速度。
1 基于新一代GPS标准体系的圆柱度误差评定的数学模型
在新一代GPS标准体系中，操作是为了规范几何产品的误差评定而提出的概念，是获得几何要素的特征值及特征的几何变动范围(极限值)的基本数学工具。操作分为要素操作和评估操作。其中，要素操作中的拟合操作定义了基于计量数学的各种拟合目标函数，且用Lp范数定义了最小二乘、最小区域、单边切比雪夫目标函数的统一数学模型[1]。Lp范数的定义为：
式中，i为非理想要素(即实际被测几何要素)上特定点的序号；p为函数的级数；n为所采用的非理想要素点的个数；ri为对应于从非理想要素到所拟合的理想要素距离的余量。
最小区域法目标函数的定义是使余量绝对值中的最大值为最小，令式(1)中的p=∞，即：
在圆柱度拟合操作中，由于圆柱度误差是单一实际圆柱所允许的变动全量。因此，按最小区域法评定的平面度误差的关键是寻求某一圆柱面，计算被测轮廓上各测量点Pi(xi，yi，zi)(i=1，2，…，n)到此圆柱面轴线的距离，令各距离中的最大最小值之差为最小，则此距离差即为圆柱度误差值，如图1所示。
设理想圆柱面的轴线方程为：
在以往的圆柱度评定过程中，一般令c=0，n=1，从而将式(5)中的六个变量简化为四个变量，以减小计算难度及复杂度。但这种做法的前提是假设轴为垂直放置，轴线平行于Z轴，且轴线起点的Z坐标位置为零。而在实际情况中，被测圆柱面往往会因加工或定位误差导致轴线偏差，此时使用简化后的公式是无法得到精确的评定结果的。因此，本文针对六个变量的复杂目标函数，提出基于遗传交叉算子的改进粒子群算法进行圆柱度误差评定，以获得准确及高精度的评定结果。
2 基于遗传交叉算子的改进粒子群算法
2.1 基本粒子群算法
粒子群优化算法PSO(Particle Swarm Optimization)是由Kennedy和Eberhart于1995年提出的一种基于群体智能理论的全局优化方法，通过群体中粒子间的合作与竞争产生的群体智能指导优化搜索[2]。研究实践表明，PSO在多维空间函数寻优、动态目标寻优等方面有着收敛速度快、非劣解质量高、鲁棒性好等优点，特别适合于工程应用。但同时PSO也存在早熟收敛、搜索精度不高、后期迭代效率不高[3]的缺点。
在基本粒子群算法中，每个优化问题被看作是搜索空间中的一个没有体积没有质量的飞行粒子，粒子在每一次迭代中通过跟踪两个“极值”来更新自己：一个是粒子自身目前找到的最优解，即个体极值pbest；另一个是全局极值gbest，即整个种群目前找到的最优解[4]。找到这两个最优解后，粒子根据如下的公式来更新自己的速度和新的位置：
经过上述计算，在由父代粒子形成的超立方体中随机产生了两个新的位置，其中在速率的交叉处将两个父代个体的速率之和的长度进行了规格化。因此，只有粒子的方向受到影响，数量却不会改变。该算法流程图如图2所示。
3 实例验证与结果讨论
本文使用参考文献[6]给出的两组圆柱度误差的测量数据按照之前提出的数学模型和优化算法进行计算分析。根据圆柱度误差的特性并参考经典PSO参数集[7]，本文设置算法的基本参数如下：
(1)粒子规模数n：一般取20~40，本文取n=40；
(2)粒子维数D：由目标优化函数的自变量个数决定，本文取D=6；
(3)粒子范围：根据测点的分布范围确定；
(4)最大速度vmax：由于圆柱度的误差较小，设vmax=0.02；
(5)最大迭代次数：设为500次；
(6)终止条件：循环达到终止迭代次数或最优适度值连续迭代50次，计算结果差值小于0.000 000 1。
参考文献[6]分别应用最小区域法(MZM)和最小二乘法(LSM)对这两组数据进行了计算；参考文献[8]和参考文献[9]则分别应用了遗传算法(GAM)和基本粒子群算法(PSO)对这些数据进行计算分析。表1和表2为以上几种算法和本文使用GHPSO算法得到的结果。图3和图4分别为GHPSO算法计算这两组数据时的粒子适应度收敛曲线。由这些表和图中可以看出，本文针对同一组数据计算得出的结果明显优于遗传算法和基本粒子群算法，收敛过程迅速、稳定。
本文根据新一代GPS标准体系给出了圆柱度误差的定义及误差评定的数学模型，并将一种带交叉算子的改进粒子群优化算法应用于圆柱度误差评定，得到了较好的效果。该改进粒子群算法原理较简单，且计算效率高，相比其他几种算法可以更有效、准确地评定圆柱度误差。同时，将圆柱度误差的目标函数稍加改变，即可方便地应用于其他形位误差的评定。因此，该方法作为一种误差评定方法，对于规范形状误差的评定过程具有一定的现实意义与参考价值。
参考文献
[1] 蒋向前.新一代GPS标准理论与应用[M].北京：高等教育出版社， 2007.
[2] EBERHART R C， KENNEDY J. A new optimizer using particle swarm theory[C]. Proc. of the 6th Int’1 Symp. on Micro Machine and Human Science. Nagoya， Japan：[s. n.]， 1995.
[3] ANGELINE P J. Evolutionary optimization versus particle swarm optimization： Philosophy and performance differences[C]. Proc. of the 7th Annual Conf. on Evolutionary Programming. Germany： [s. n.]， 1998.
[4] CLERC M. The swarm and the queen： Towards a deterministic and adaptive particle swarm optimization [C]. Proc. 1999 Congress on Evolutionary Computation. Washington， DC： [S]， 1999.
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[6] FERREIRA C K. Verification of form tolerances， Part II： Cylindricity and straightness of a median line [J].Precision Engineering， 1995， 17(2)： 144-156.
[7] CARLISLE A， DOZIER G. An off-the-shelf PSO [J]. Purdue School of Engineering and Technology， 2001(10)：20-21.
[8] CHANGCAI C， RENSHENG C， DONG Y， et al. Research on the minimum zone cylindricity evaluation based on genetic algorithms[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering， 2003，16(2)：167-170.
[9] 崔长彩，黄富贵，张认成，等.粒子群优化算法及其在圆柱度误差评定中的应用[J].光学精密工程，2006，14(2)：256-260.