0 引言

    到达时刻(TOA)是雷达和声纳系统中重要的目标参数信息。但当作为被动雷达目标照射源的信号的时宽带宽积较小时，脉冲压缩增益较小，采用基于脉冲压缩的方法不容易将信号从噪声中检测出来。接收信号的时宽是个固定值，因此小时宽带宽积信号对应着小的带宽。由于TOA分辨率从根本上受到信号的3 dB带宽限制^[1]，采用传统的脉冲压缩技术将不能对时宽带宽积较小的目标回波TOA进行有效分辨。对小时宽带宽积的目标回波信号进行有效的TOA估计具有重要的军事和民用价值，因此本文中，对小时宽带宽积目标回波信号的超分辨TOA估计方法进行研究。

1 基于压缩感知的超分辨TOA估计

    对于含L个分量的接收信号x_sur(n)可以表示为：

其中α_i、τ_i和f_di分别是第i个信号的幅度、TOA和多普勒频移， x_g(n)是无时间延迟的信号，e_sur(n)是噪声分量，N代表数据总长度，L代表信号总数。本文假设接收信号的多普勒频移已经事先被估计出，下文的讨论中将式(1)中的复常数exp(j2πnf_di)归入振幅α_i。

    将式(1)的信号变换到频域中可以写成式(2)的形式：

其中X_sur(k)、X_g(k)和E_sur(k)分别是X_sur(n)、X_g(n)和e_sur(n)的离散傅里叶变换，M是离散傅里叶变换的点数。将式(2)的两边同时除以x₀(n)的离散傅里叶变换X₀(k)后的形式为：

其中β_i=aα_i，i=1，2，…，L为对应的幅度，E_sur(k)/X₀(k)为对应的频域噪声。由于接收信号中有用的信号能量集中在以载频f₀为中心的频带B内，为了抑制此频带外的频域噪声，在频域给F(k)加中心位于f0左右宽度各为B/2的窗函数W(k)，加窗后的频谱可表示为：

其中P(k)=W(k)E_sur(k)/X₀(k)。式(4)的矢量形式y=Φx+p，Φ=[exp(j2πkτ_i/M)]_ki，通过x中的非零值对应的位置即可得到信号的TOA。观测矩阵Φ是M×N的离散傅里叶矩阵，在参考文献[2]中作者已经证明该矩阵高概率满足有限等距性质(Restricted Isometry Property，RIP)，x可以通过求解以下l₁范数最优化问题得到：

其中λ>0。本文利用参考文献[3]中的方法求解式(5)。

2 全变差滤波

    理论上通过求解式(5)即可得到小时宽带宽积信号的超分辨TOA估计，然而实践中发现x中存在一些模值接近于零的虚假TOA分量，这些分量是由于式(1)中e_sur(n)在信号频带内的色噪声的分量引起的扰动所致，经研究发现此色噪声可用式(6)所示的全变差滤波方法^[4]去除。

3 性能分析

    实验1 设直达波和多径信号的TOA分别为50 μs和80 μs，信噪比均为-36 dB，噪声为在90 kHz~110 kHz的频带内且服从高斯分布的色噪声。经过13.56 s脉冲组间和脉冲组内的相干积累后先不对此信号做全变差滤波处理，然后按照第2节所述的方法对滤波后的信号做M=1 024点的离散傅里叶变换，重构的过程中取N=1 024对直达波和多径信号的TOA进行稀疏重构，重构后TOA的幅度如图1所示，此外虚警率为P_fa=0.028 1的单元平均恒虚警检测门限和匹配滤波对TOA估计的结果也一并在图1中给出。从图1中可见，匹配滤波无法分辨直达波和多径信号，压缩感知稀疏重构能对直达波和多径信号进行有效分辨，两个最大尖峰的位置分别为50 μs和80 μs，与直达波和多径信号的TOA一致。最大尖峰两侧周围存在一些副瓣，这些副瓣可以通过选取合适的虚警率通过恒虚警检测的方法剔除。另外，重构结果中存在一些模值较小的尖峰，这些尖峰采用恒虚警检测无法剔除，会造成虚假目标TOA估计。

    仿真条件不变，采用全变差滤波后对直达波和多径信号的TOA进行稀疏重构，重构后TOA的幅度如图2所示。从图2可见全变差滤波后虚假TOA估计对应的模值较小的尖峰全部消失，全变差滤波处理提升了算法的性能，通过对全变差滤波后的结果进行恒虚警检测，可以得到直达波和多径信号的TOA的精确估计。

    实验2 仍然设定直达波和多径信号的TOA为50 μs和80 μs，分析算法随信噪比变化对TOA估计性能的影响。设直达波和多径信号的信噪比相同，令此信噪比从-46 dB～-24 dB依次变化，每种情况分别做150次独立蒙特卡罗实验，重构后能正确估计直达波和多径信号的TOA的成功概率与信噪比的关系如图3所示。从图3可以看出，当信噪比大于-36 dB时，采用全变差和压缩感知重构正确估计直达波和多径信号的TOA的概率为100%。

    实验3 设定直达波的TOA为50 ?滋s，分析算法直达波TOA和多径信号的TOA相对间隔的变化对TOA估计性能的影响。设定直达波和多径信号的信噪比均为-36 dB，令多径信号的TOA相对于直达波的TOA从1 μs～25 μs变化，每种情况分别做150次独立蒙特卡罗实验，重构后能正确估计直达波和多径信号的TOA的成功概率与多径信号的TOA相对直达波的TOA变化关系如图4所示。从图4可见，当直达波和多径信号的TOA间隔大于22 μs时，正确估计直达波和多径信号TOA的成功概率大于98%。

4 结论

    针对小时宽带宽积信号匹配滤波结果分辨率较差的问题，本文提出了一种基于全变差和压缩感知的小时宽带宽积信号超分辨TOA估计方法。该方法先对接收信号做全变差滤波处理，然后根据频域样本采用压缩感知重构携带目标TOA信息的时域稀疏信号，最后结合恒虚警检测对目标回波的个数进行检测并对其进行超分辨TOA估计。仿真结果表明在以罗兰C信号为典型的小时宽带宽积信号中该方法能够对TOA间隔大于22 μs的直达波和多径信号进行有效超分辨TOA估计。由于TOA正确重构结果两侧旁瓣的影响当两个目标TOA间隔较近时TOA估计效果较差，这将在以后的研究工作中做进一步的改进。

参考文献

[1] MAHAFZA B R.Radar signal analysis and processing using　MATLAB[M].Boca Raton：CRC Press，2009.

[2] CANDES E J，TAO T.Near-optimal signal recovery from random projections：universal encoding strategies[J].IEEE Transactions on Information Theory，2006，52(12)：5406-5425.

[3] AFONSO M V，BIOUCAS-DIAS J M，FIGUEIREDO M A T.An augmented lagrangian approach to the constrained optimization formulation of imaging inverse problems[J].IEEE Transactions on Image Processing，2011，20(3)：681-695.

[4] Fei Xuan，Wei Zhihui，Xiao Liang.Iterative directional total variation refinement for compressive sensing image reconstruction[J].IEEE Signal Processing Letters，2013，20(11)：1070-1073.

[5] BOYD S，VANDENBERGHE L.Convex optimization[M].New　York：Cambridge University Press，2004.