摘  要： 针对粒子群优化算法的邻域拓扑结构对算法性能有重要影响、PSO算法在CPU上求解最优化问题时计算效率低下这两点，分析了邻域拓扑结构改变时PSO算法的并行特征，实现了环形和星形拓扑结构的PSO算法在统一计算设备架构上的寻优过程。分别在CPU和GPU上用两种PSO算法对7个benchmark测试函数进行求解。程序仿真结果显示，基于CUDA的PSO算法计算效率均大大高于CPU；同时发现，GPU显著地加快了星形结构PSO算法的收敛速度，而对环形结构PSO算法影响不大。

　　关键词： 粒子群优化算法；统一计算设备架构；邻域拓扑结构；计算效率

　　料子群优化PSO（Particle Swarm Optimization）算法最早于1995年由EBERHART博士和KENNEDY博士提出[1]，由于实现容易、精度高和收敛快等优点，引起了学术界的重视，并且在实际问题的解决中展示了其优越性。

　　近年来，针对基本PSO算法易陷入局部极值，求解某些问题时精度不足的缺点[1]，研究人员们提出了各种改进算法，包括参数调整[2]，改变搜索网络空间[3-4]，混合其他算法[5-6]等。目前，PSO算法作为优化工具成功应用于多个领域，如无线传感器网络（WSN）覆盖问题的研究[7]。PSO算法性能对社会网络结构具有强烈的依赖性[1，3-4]，邻域拓扑结构的改变对PSO算法的收敛性有重要作用。

　　求解高维复杂函数时，传统PSO算法因需处理大量数据，致计算效率过低，研究人员基于算法本身特性提出了各种并行PSO算法[8-10]，均取得了至少10倍以上的加速比。GPU起初只是负责图形渲染，直到2006年公布了GeForce系列GPU，GPU才开始应用于通用计算[11]。GPU和CPU的协同工作，现已被广泛应用于石油勘探[12]、生物计算[13]等领域。本文借助于CUDA平台，对邻域拓扑结构发生变化时的PSO算法进行了探究，验证了并行计算平台的高效性，同时探索了并行计算平台对星形和环形PSO算法收敛性的影响。

　　1 标准PSO算法

　　PSO算法[1]源于对鸟类觅食过程的模拟：将每只鸟看成D维空间中没有质量和体积的微粒，这些微粒以一定速度飞行，速度由个体的飞行经验和群体的飞行经验进行动态调整。

　　标准PSO算法的速度和位置更新方程如下：

　　v（t+1）=?棕v（t）+c1×r1×（p（t）-x（t））+c2×r2×（pg（t）-x（t））（1）

　　x（t+1）=x（t）+v（t+1）（2）

　　其中，v（t）=（v1，v2，…，vd）为当前微粒在第t代的速度；为惯性权重，文中取?棕=0.5；c1为认知系数；c2为社会系数，通常取c1=c2=2；r1，r2为服从均匀分布的0~1之间的随机数；p（t）=（p1，p2，…，pd）为当前微粒的历史最优位置；x（t）=（x1，x2，…，xd）为当前微粒在第t代的位置；p（t）=（pg1，pg2，…，pgd）为群体历史最优位置。典型的标准PSO算法的寻优流程如图所示。

　　2 PSO算法的拓扑结构

　　为提高PSO算法的性能，参考文献[3-4]提出了不同类型的拓扑结构，包括动态拓扑和静态拓扑。KENNEDY J对在各种静态邻域结构中的PSO算法性能进行了分析[1]，认为星型、环型和Von Neumann拓扑适用性最好，并称小邻域的PSO算法在复杂问题上性能较好，大邻域的PSO算法在简单问题上性能更好，在本实验中得到进一步论证。

　　分别为星形和环形拓扑图，星形PSO算法中所有粒子全部相联，每个粒子都可以同除自己以外的其他粒子通信，以共享整个群体最佳解；环形网络结构中每个粒子跟它的n个邻居通信，每个粒子向邻域内的最优位置靠拢，来更新自己的位置，可见，每个粒子只是共享所在邻域内的最优解，即局部最优，而全局最优流动在整个环形网络中。

　　除以上两种基本拓扑结构外，还有冯诺依曼型、轮型、金字塔型、四聚类型结构和一些基于这几种结构的改进拓扑[1，3-4]，其中普遍认为冯诺依曼结构在解决大多数问题时要优于其他结构[1]。当然，并不存在对所有问题都适用的最好拓扑。

　　3 CUDA及CUDAC

　　3.1 CUDA编程模型

　　统一计算设备架构CUDA（Compute Unified Device Arch-itecture），在CUDA编程模型中，CPU为主机（Host）端，GPU作为协处理器，两者各自拥有独立的存储器和各自的编译器[14-15]。一个完整的CUDA编程模型如图4所示：程序执行始于主机，止于主机。图中Kernel并行处理部分为基于单指令多线程SIMD（Single Instruction Multiple Thread）计算模型，线程被CUDA组织成3个不同的层次：线程（Thread）、线程块（Block）以及线程格（Grid）。

　　3.2 CUDA存储器模型

　　线程在执行指令时，需访问处于不同存储器的数据，而对各类存储器的访问速度差异很大[13]。CUDA存储器分为3层：（1）私有本地存储器（private local memory），容量小，访问速度快；（2）全局存储器（global memory），所有线程都可访问，访问速度慢；（3）共享存储器（shared memory），属于片上存储器，访问速度与寄存器相当，定义共享类型变量时需使用限定符__shared__。

　　3.3 CUDA C

　　CUDA C是对C的扩展，为程序员提供了一种用C语言在设备上编写代码的编程方式。主要扩展[14-15]：（1）引入__device__，__host__和__global__3个限定符，限定函数调用和执行的位置；（2）引入4个内置变量，blockIdx，threadIdx，gridDim和blockDim；（3）引入<<<>>>运算符，内含4个参数，主要用于设置线程格和线程块的尺寸；（4）扩展了一些数学函数库，如CURAND[16]。

　　4 基于CUDA的PSO算法

　　4.1 PSO算法的并行编程

　　群体中各粒子只在更新全局最优时互相交换信息，其他步骤均相互独立。获取历史最优时，一个线程对应一个粒子，各线程同时调用适应函数；更新位置和速度时，一个线程对应粒子的每一维；均按线程索引来读取数据并处理。

　　主机端初始化粒子的位置和速度，将数据从CPU复制到GPU上，在设备上迭代寻优，最后将最优解复制到CPU输出。表1列出了实现各部分功能的函数，获取全局最优值时，星形结构可以通过线程归约比较获取全局最优，环形结构由于多邻域而相对复杂，在后续部分详述。

　　4.2 环形PSO算法寻优过程

　　星形PSO算法获取全局最优较为简单，不作分析，环形PSO算法在获取局部最优时，文中设定每个粒子只有左右两个邻居。在编写该部分程序时，设置让相邻线程访问索引间隔为3的共享内存中的数据，这种方法避开了bank冲突，但以时间消耗作为代价。各线程具体负责找出粒子的历史最优值.

　　找出历史最优值的方式有以下两种情形（其中N为粒子规模）：

　　（1）N%3=0时，各线程按图5所示处理相应的数据，3次并行运行即可得到每个粒子在其邻域内的局部最优。

　　（2）N%3≠0时，将图5中N令为N-N%3，按情形（1）可以得到0~N-N%3-1号粒子在其邻域内的局部最优，再对余下的1或2个粒子依次找出其邻域内局部最优。

　　由于环型PSO算法有N个局部最优值，设备上寻优结束后，需将N个局部最优从GPU复制到CPU进行比较，最后输出全局最佳解。

　　4.3 CUDA程序性能优化

　　GPU性能虽然出色，但很大程度上受限于算法本身[15]。在CUDA的使用中，数据结构和对内存的访问对GPU性能有极大地影响，有时甚至起决定性作用。文中实验程序对CUDA性能优化，主要考虑了以下4个方面：（1）最大化并行性；（2）优化内存访问以获得最大的带宽；（3）优化指令使用以获得最大指令的吞吐量；（4）线程块和线程数的设置，实验表明当设置线程块数为32，每个块中线程数为256时获得最高效率。

　　5 结论分析

　　5.1 计算时间对比

　　在独立的CPU和CPU+GPU并行计算平台上，分别对以下7个benchmark函数进行了测试，其中D表示粒子的维数，xi的范围表示搜索空间。

　　（1）Sphere函数

　　f1（x）=x，|xi|≤15（3）

　　（2）Ackley函数

　　f2（x）=20exp-0.2-

　　expcos（2πoi）+20+e），|xi|≤15（4）

　　（3）Schwefel函数

　　f3=418.928×D-xisin（），|xi|≤500（5）

　　（4）Levy函数

　　f4=sin2（πyl）+[（yi-1）2×（1+10sin2（πyi+1））]+（yD-1）2（1+sin2（2π2n））   yi=1+，|xi|≤10（6）

　　（5）Griewank函数

　　f5+1，|xi|≤600（7）

　　（6）Rastrigin函数

　　f6=10cos（2ππi）+10]，|xi|≤5.12（8）

　　（7）Rosenbrock函数

　　f7=xi+12+（xi-1）2，-5≤xi≤10（9）

　　星形结构和环形结构PSO算法在CPU和CUDA上的运行时间如表2所示，测试时取粒子数为1 000，粒子维数为50，迭代次数为5 000。表中数据经多次测试，取均值得到。表2显示，相同条件下，GPU和CPU上的环型PSO算法均略慢于星型。还可以看到，函数越复杂，加速比越大。并经多次测试比较发现，迭代次数增加，加速比增大。表3为迭代次数为10 000时的函数f1~f7求解时间。

　　表4列出了维数50，粒子数为500，迭代次数10 000时，星形和环形PSO算法求解函数f1~f7的时间。对比表3和表4，可知粒子数为500时的加速比明显要低于粒子数为1 000时，对比表2和表4发现，尽管迭代变大，而粒子数较大时加速比越大，说明种群规模对加速比的影响要大于迭代数。这正体现了PSO算法粒子的并行性，粒子规模越大，在GPU上的并行处理越具优势；反而当粒子数较小时，由于并行前后CPU和GPU之间的通信所需时间隐藏被弱化，此时在GPU上运行不占任何优势，有时甚至差于CPU。进一步说明了GPU适用于大规模数据并行运算中。

　　5.2 收敛性对比

　　除计算效率极大提升外，GPU还加快了星型PSO算法的收敛速度。图6描绘了两种结构PSO算法在CPU和GPU上求解函数f2的收敛曲线，实验取粒子数500，维数50，迭代次数从0逐渐增大，基于算法本身的随机性，记录最优解数据时对指定的迭代数循环100次，取其平均值。

　　可见，迭代早期两种结构PSO算法的收敛速度相差不大，而随着迭代增大，星形PSO算法的收敛速度明显加快。实验结果还表明，对于环形PSO算法，GPU并未加快收敛，而对于星形结构，GPU明显加快了算法的收敛速度。其余6个benchmark函数的求解也表明，GPU确实加快了星形PSO算法的收敛速度。

　　本实验GPU显卡型号为NVIDIA GeForce GT 630M，CUDA计算能力为2.1。图表中仅列出了粒子数和迭代数改变时加速比的变化情况，维数的改变对加速比也有重要影响。PSO算法的这种并行策略，在遗传算法、蚁群算法、文化算法及一些混合算法中具有较强的通用性，可以很大地提高搜索效率。PSO作为一种新兴进化算法，各种研究工作种类繁多，在函数优化、多目标优化、约束优化、算法结构改进、应用工程领域等方面[17]均取得重大成果，而CUDA作为一种新兴计算平台，必将推动PSO算法的发展。

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