摘 要： 针对室内声学非线性系统室内冲激响应快速检测的问题，提出了一种基于连续指数正弦扫频信号综合检测的方法。通过简要介绍非线性系统Volterra模型后，着重阐述了作为激励信号的连续指数正弦扫频信号和实现非线性系统冲激响应快速检测的基本原理和相关技术。最后，通过一个应用实例验证了该方法的可行性和快速性。
关键词： 非线性系统；冲激响应；连续指数扫频信号；快速检测
0 引言
在传统的室内声学冲激响应测量中，一般采用周期性脉冲[1]和最大长度序列[1-2]两种检测方法。然而，周期性脉冲测量不但测试时间长、信噪比差，而且由于激励能量低而不能输出非线性失真；而最大长度序列测量虽然改善了其信噪比，然而，其要求系统必须有良好的线性。因此，传统的方法无法分离非线性系统的线性与非线性响应，基于以上的问题，本文提出了一种基于非线性系统的Volterra数学模型，采用连续指数正弦扫频信号作为激励信号，利用Hilbert-Huang变换技术和相关的逆滤波器技术实现快速简捷的解决方法。
1 非线性系统的数学模型
室内声学系统一般可认为信号先经过一个非线性系统，然后再在一个线性系统中传输，其原理框图如图1所示。
对于一个无记忆的非线性系统的特征可由N阶Volterra核函数[3]KN（t）表示，非线性的系统响应如式（1）所示：
Farina[4-5]指出该模型下的非线性系统的全局响应可以由一个高斯白噪声n（t）加上一系列的冲激响应hi（t）（hi（t）=ki（t）?茚h（t））和相应不同功率的输入信号做卷积的结果组成。该模型下的全局响应如式（2）所示：
在实际应用中，这样的系统不失一般性。然而，实践中测量这种系统的各阶冲激响应函数hi（t）往往又是非常耗时、困难和复杂的。下面将介绍一种通过采用特定的激励信号测量和相关的技术处理，快速获取系统各阶冲激响应分布的方法。
2 系统信号源的选择和冲激响应实现的相关技术
2.1 激励信号的选择
在测量方法中，既希望测量较宽的频带，又希望测量时间尽可能短，并且还希望在测量的频率范围内得到更为精确的结果。在传统的测量中，主要选择线性正弦扫频信号和离散指数扫频信号两种信号作为激励信号。线性正弦扫频信号作为激励信号，其频率呈线性连续变化，在22 Hz~22 kHz的频率范围下测试，测试时间大概需要15 s；为缩短测量时间，S.Temme等[6]提出了离散指数扫频信号，该信号频率点以指数比率增长，该信号是以牺牲测量精度为代价，换取更短的测量时间，但是，在精度为1/24倍频程下测试，测量时间也需要十多秒。
为了解决以上两种信号在时间和精度上的问题，本文采用连续指数正弦扫频信号作为激励信号。该激励信号的形式如式（3）所示：
其中，A为信号的幅度，（t）为信号的瞬时相位，T为信号扫频的总时间，w1和w2分别为信号的起始频率和终止频率。
该激励信号随着时间的变化，其频率呈指数连续增长，在1 s内从起始频率20 Hz到终止频率20 kHz的测量结果如图2所示。
由图2（a）可知，该激励信号能在较短时间内连续测试频率点，因此，得到的测量频率更精确。结合图2（b）和（c）可知，激励信号随着频率的增加，能量降低。如图2（c）所示，激励信号的频谱是一个粉红谱，下文将介绍根据这样的一个频谱进行的幅度调制。另外，该激励信号还有一个重要的特点，如下式（4）所示。
由上式可知，激励信号某时刻频率的N倍，等于该激励信号频率延时?驻t对应的频率，即?驻t表示了N次谐波出现的时刻与基波之间的时间间隔。此时间间隔只与激励信号的起始频率、终止频率、扫频总时间和N有关。因此，由式（5）可以确定某时刻频率的N次谐波出现的时刻。
2.2 冲激响应实现的基本原理
为了能够实现快速检测系统各阶冲激响应，需要构造一个逆滤波器x′（t），它应满足与激励信号相卷积后，其结果为狄拉克函数δ（t）。再结合第1节非线性系统的描述，在连续指数正弦扫频激励下，非线性系统的冲激响应函数形式如式（6）所示：
其中，hi（t）表示第i阶的冲激响应，?驻ti表示第i阶的冲激响应与第1阶冲激响应（即线性响应）之间的时间间隔，即上节介绍中的?驻t。由式（6）可知，由于连续指数扫频信号和特定的逆滤波器的引入，一个复杂的非线性系统的线性冲激响应和各阶非线性冲激响应以?驻ti的时间间隔被分开。另外，从某种意义上来说这一特定的逆滤波器也是后续系统另一种形式上的激励信号，下一节将介绍这一特定的逆滤波器。
2.3 冲激响应实现的相关技术——逆滤波器的实现
由上节可知，逆滤波器的创建基于非线性失真响应和激励信号。另外，考虑实际测量中，信号总是因果的，因此，还要求逆滤波器应是一个因果的、稳定的信号。根据参考文献[7]中对创建逆滤波器的各种技术的分析，采用最简单的最小二乘法技术求解逆滤波器。建立最小二乘法方程如式（7）所示：
[R]·{g}={k}（7）
其中，[R]矩阵为托普利兹矩阵，{g}为逆滤波器方程向量，{k}为系统响应函数方程向量。
另外，由于测量系统采用连续指数扫频信号作为激励信号，根据上节介绍的逆滤波器和激励信号的关系，再结合上文介绍的连续指数扫频信号随着频率的增加，能量不断降低的情况，为补偿其在低频和高频时能量的不一致，需要对逆滤波器进行幅度调制。采用Hilbert-Huang变换技术对激励信号的频谱幅值进行分析研究，根据其幅度包络的特点在时域上对逆滤波器进行包络调制。下面对连续指数正弦扫频信号的频谱进行分析。
对非线性、非平稳的连续指数扫频激励信号进行Hilbert-Huang变换，设激励信号x（t）时域上的解析信号Zx（t）和频谱Zx（f）分别为：
其中，H[x（t）]是x（t）的希尔伯特变换，ax（t）和x（t）分别为激励信号的瞬时幅值和瞬时相位，Ax（f）为激励信号频谱的幅值。
设激励信号的时域幅值ax（t）=1，由2.1节介绍的激励信号的瞬时相位，对其进行两次求导，再结合参考文献[8]中公式：
可得激励信号的频谱幅值为：
其中，fi为激励信号的瞬时频率，
，连续正弦扫频信号频域的幅度沿频率分布的情况如图3所示。
结合图3和式（11）可知，激励信号的频谱幅值是一个粉红谱，Ax（f）正比，频率越低，激励信号幅值越大。从能量的角度来看，激励信号的能量从低频向高频不断衰减，与2.1节中图2（c）介绍的激励信号的频谱幅值变化相一致。
根据激励信号频谱幅值随频率变化的特点，在时域上对逆滤波器进行幅度调制，求得的逆滤波器时域波形图和频谱如图4所示。
3 应用实例
为了验证上述方法的有效性和快速性，将其用于扬声器系统的冲激响应测量。扬声器系统测试基本框图如图5所示。
计算机产生激励信号经功放后加载到具有非线性特性的扬声器，扬声器产生的声场随后经过空间线性传播由传送器接收，接收到的信号经阴极输出器输入计算机，计算机读取其数据，然后进行分析、处理。
采用起始频率为20 Hz、终止频率为20 kHz、扫频时间为1 s的连续指数扫频信号作为激励信号对扬声器系统进行测试，将系统响应结果与上述的逆滤波器进行卷积后，经数据处理，得到的扬声器系统的各阶冲激响应测量结果如图6所示。
图7（a）是连续指数正弦扫频信号激励法下的冲激响应测量结果图，图7（b）和（c）分别为最大长度序列法和周期性脉冲法在室内扬声器系统下测量的冲激响应结果图[9]。结合图6、图7和参考文献[9]可知，连续指数正弦扫频信号激励法的最大特点是能够实现对非线性系统各阶冲激响应的快速检测，而最大长度序列法和周期性脉冲法无法将非线性系统中的线性与非线性响应部分分离开来。
由上述可知，图6中从右边开始最高幅值的是1阶冲激响应即线性响应，依次向左分别为2阶、3阶、4阶等更高阶的冲激响应。它们以?驻ti的时间间隔依次被分隔开来，其中?驻ti可由上述推导的式（5）所求得，实现了对非线性系统各阶冲激响应的快速检测。
此外，从图6测量结果中可看出，系统响应的噪声在首尾处较大，这是由于激励信号在首尾处由于信号幅度的突变而产生高频能量造成的，为改善系统在首尾处产生的噪声，可以对激励信号进行加窗处理。
4 结论
本文从理论上对室内声学非线性系统和作为激励信号的连续指数正弦扫频信号、逆滤波器的特性进行了分析研究，通过运用上述方法对具有非线性特性的扬声器系统进行实际测试，扬声器系统的线性冲激响应和各阶非线性冲激响应被快速地测量出来，实现了对非线性系统各阶冲激响应的快速检测。
参考文献
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