摘  要： 针对多载波系统信道的稀疏特性，提出一种基于压缩感知（CS）的MC-CDMA多载波系统信道估计方法。信号自适应匹配追踪（SAMP）是一种压缩感知算法，详细研究了该算法的设计原理和实现过程。将该算法与传统信道估计方法及基于压缩感知的OMP算法做比较，仿真结果表明，SAMP算法的信道估计均方误差（MSE）和系统误比特率（BER）均更小。对于在稀疏度未知的多载波系统信道中，该算法可以获得很好的信道估计性能，降低系统的复杂度。

　　关键词： 压缩感知；MC-CDMA；信道估计；SAMP

0 引言

　　多载波系统信道呈现稀疏特性，利用这种稀疏特性进行信道估计，可以有效提高频带利用率，增加系统实时性。压缩感知[1]（Compressed Sensing，CS）理论为上述信道估计[2-3]方法提供了理论基础。

　　压缩感知理论在信号处理领域有着广泛运用[4-5]。在目前基于压缩感知的信道估计重构算法研究中，参考文献[6]提出了一种基于匹配追踪（Matching Pursuit，MP）的重构算法，但是MP算法并不稳定。参考文献[7]提出了基于正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）算法在信道估计中的应用，该算法提高了估计的精度，但是该算法以稀疏度为先验条件。

　　本文提出将自适应匹配追踪[8]（Signal Adaptive Matching Pursuit，SAMP）算法应用于MC-CDMA系统进行信道估计，在信道稀疏度未知情况下可以很好地进行估计，并将该算法与其他重构算法做比较，以增加部分的算法复杂度换取了较大的信道估计性能。

1 压缩感知理论

　　假设需要重构信号x，现可将信号x抽象为RN空间的N×1维列向量，在RN空间中，任何信号均可以使用N×1的规范正交基向量线性表示：

　　其中，∈RN为投影系数，但仅有K个非零元素（K<<N），此时是N维—K稀疏向量。在重构信号x时，仅需估计K个未知参数而不是N个实际的未知参数，从而大大减少了采样信号的量，同时可以恢复原信号x。

　　在CS理论中，对需要重构的信号x的采样，实际上是利用M×N的矩阵的M个行向量对投影系数向量的一个线性投影过程。信号x经过线性变换后，输出的观测信号y包含M个参数，每一个参数均为信号x的一个观测量，即：

　　其中，?椎称为观测矩阵，且M<<N。由于观测信号参数M远小于重构信号x的长度N，因此式（2）是欠定的。

　　CS理论认为，若满足以下两个条件，则可以在重建时在不知道x非零位置的情况下，通过最优化准则从观测信号y中较为准确地恢复出x。

　　条件1 如果向量x在某个完备字典下是K-稀疏的（即x只有K个非零值），且K<<N。

　　条件2 观测矩阵?椎满足有限等距性质。

2 MC-CDMA系统模型

　　在MC-CDMA系统的发送端，第m个用户的第k个传输数据经由调制映射的数据bm[k]复制分配到N个子载波上，然后与分配给该用户的伪码序列在频域上进行乘运算，将得到的结果进行IFFT运算，并插入循环前缀，完成OFDM调制。

　　第m个用户在一个符号周期内，其发射的信号可表示为：

　　其中，?赘=2π/Ts（Ts为一个符号周期），bm[k]为用户m的第k个传输数据，cm[n]（n=0，1，…，N-1）为分配给第m个用户的伪码序列。

　　假设各子信道的信道特性是独立同分布的瑞利衰落，在子载波k上对应的用户m的传输函数为：

　　其中，ρm，k为幅度衰落，m，k为相位失真，认为在一个OFDM符号周期内二者为常数。因为不同用户m的数据通过相同子载波k调制传输，所以衰落与用户m无关，仅与子载波k有关。

　　当信道特性为瑞利衰落的随机变量时，ρm，k的概率密度函数为：

　　由于每个用户相关的随机变量是相互独立分布的，因此对目标用户信号的幅度和相位进行纠正时，不会对其他用户的幅度和相位产生影响。

3 MC-CDMA系统信道估计

　　3.1 基于OMP的信道估计方法

　　OMP算法通过每一次的迭代选择一个局部的最优解来逐步逼近原始信号，具体实现步骤如下：

　　输入：测量矩阵，观测向量Y，信道稀疏度K。

　　输出：x的近似估计

　　初始化：残差r0=Y，索引集S0=，迭代次数k=1。

　　（1）找出一个索引Sj满足，S>|，S表示矩阵?椎的第s列；

　　（2）更新索引集Sj=Sj-1∪{sj}，记录原子集k=[k-1，k]；

　　（3）根据LS计算得到信号x的第k次迭代的信号估计k=arg min‖Y-k‖2；

　　（4）更新残差rk=Y-k，k=k+1；

　　（5）判断迭代次数是否满足k>K，如果满足停止条件，则停止迭代，否则返回步骤（1）。

　　3.2 基于SAMP算法的信道估计方法

　　综合MP算法、OMP算法，SAMP算法结合了自下而上和自上而下两种追踪方式的特点。基于SAMP的信道估计算法可描述如下：

　　输入：测量矩阵，观测向量Y，步进值s。

　　输出：x近似估计

　　初始化：初始值=0，残余量r0=Y，支撑集F0=，算法停止阈值T，支撑集大小I=s，阶段索引j=1，迭代次数k=1。

　　（1）计算相关值，选出相关值最大的I个元素所在的具体位置：Sk=max（|rk-1|，I），根据选出来的位置组成候补集Ck=Fk-1∪Sk；

　　（2）根据候选集Ck抽取中所对应列向量组成子矩阵Ck：，取值最大的N个元素所在的位置，组成临时稀疏支撑集；

　　（3）根据临时稀疏支撑集计算临时残余分量：；

　　（4）根据初始化的阈值T判断是否满足算法停止条件，若满足停止条件，则进入步骤（6），否则进入步骤（5）；

　　（5）判断‖‖2≥‖rk-1‖2，若条件成立，则更新阶段索引j=j+1，支撑集大小I=j×s，返回步骤（1）进入下一次循环；若条件不成立，更新稀疏支撑集Fk=，残余量rk=，迭代次数k=k+1，返回步骤（1）进入下一次循环；

　　（6）输出x的近似估计。

　　当算法满足下列两个条件时，迭代停止：（1）残余量小于某个阈值；（2）连续的两个残余量变化值小于某个阈值。步长s必须满足s≤K，由于K值未知，最佳选择是s=1，但是s越小，迭代次数越多，因此需要在s大小和重构速度之间做出权衡。

4 仿真与性能分析

　　仿真参数设定如下：OFDM子载波数N=256，采用QPSK调制，循环前缀CP为64个采样点，导频数P=16，信道长度L=60，稀疏度K=8，SAMP算法初始步长s=1，阈值T为噪声平均功率。

　　仿真结果比较不同信道估计方法的归一化均方误差（Mean Square Error，MSE）、信号误比特率（BER）及算法时间复杂度来衡量各算法的性能。MSE定义为：

　　第一组仿真实验比较了不同信道估计方法的MSE性能。图1为LS、OMP、SAMP 3种算法的MSE仿真曲线对比。由图1可以看出，在相同导频数情况下，随着SNR的增加，各方法的MSE均随之减小。当SNR<5 dB时，3种方法的MSE相差不大，SAMP算法性能相比于传统的LS算法优势并不明显，但随着SNR的增大，SAMP算法性能的优越性就越发明显。同时，SAMP算法与OMP算法的MSE曲线较为接近，且稍优于OMP算法。

　　第二组仿真比较了不同信道估计方法的误比特率情况。图2为LS、OMP、SAMP 3种算法的BER仿真曲线对比。由图2可以看出，基于压缩感知的多载波系统信道估计性能明显优于传统的LS信道估计方法，这是因为基于CS的多载波系统充分利用了信道的稀疏特性，所以在相同导频数情况下可以做到更精确的信道估计。当SNR>15 dB时，LS算法的BER改善较为有限，而基于压缩感知的OMP算法和SAMP算法的BER则明显地降低，且随着SNR的增大，基于压缩感知的估计算法降低BER的优势则更为明显。

　　从算法复杂度来看，LS算法需要求矩阵的逆运算，其复杂度与导频数P有关。OMP算法复杂度来源于2K次的迭代过程，因此，OMP算法相对于传统算法，复杂度有一定的增加。SAMP算法引入了阶段的思想，重构过程被分割为几个阶段，每个阶段累加来扩充支撑集，而每个阶段又由若干次的迭代来更新支撑集中的原子，从而使得SAMP算法复杂度高于其他算法。LS、OMP、SAMP 3种算法的运算时间如表1所示。

　　综合仿真结果和上述分析，基于CS理论的SAMP算法相比于传统算法有较大的优势，特别是在SNR较大的情况下，优势更为明显。SAMP算法是对OMP算法的改进，可以在不用稀疏度K作为前提条件做出信道估计，因而更为符合实际应用。

参考文献

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　　[2] PAREDES J I， ARCE G R， Wang Zhongnin. Ultra-wideband compressed sensing channel estimation[J]. IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing，2007，1（3）：383-395.

　　[3] 罗振龙，疏中凡，姜媛媛.基于OMMP算法的OFDM系统信道估计[J].电子技术应用，2014，40（4）：106-108.

　　[4] 石光明，刘丹华，高大化，等.压缩感知理论及其进展[J].电子学报，2009，37（5）：1070-1081.

　　[5] Li Weichang， PREISIG J C. Estimation of rapidly time-varying sparse channels[J]. IEEE Journal of Oceanic Engineering， 2007，329（4）：927-939.

　　[6] 朱行涛，刘郁林，徐舜.一种基于匹配追踪的OFDM稀疏信道估计算法[J].微波学报，2008，24（2）：73-76.

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　　[8] 叶新荣，朱卫平，孟庆民.MIMO-OFDM系统基于压缩感知的稀疏信道估计[J].应用科学学报，2013，31（3）：245-251.