王妃,熊继平,蔡丽桑

　　（浙江师范大学 数理与信息工程学院，浙江 金华 321004）

　　摘要：压缩感知" title="单比特压缩感知" target="_blank">单比特压缩感知是量化压缩感知的极限形式，该方法采集的是观测值的符号，仅需要1个比特单元来记录这个值，因此在硬件实施上成本低，运行速度快。目前，单比特压缩感知技术已经成为一个研究热点。本文首先介绍了单比特压缩感知的发展和研究现状，然后从检测和不检测观测符号两个方面对重构算法进行了分析，接着从单比特压缩感知的成像领域、无线传感器网络领域、医学图像领域和信号传输领域四个应用领域进行分析，最后对单比特压缩感知技术进行了总结和展望。

　　关键词：单比特压缩感知；压缩感知；重构算法；应用

0引言

　　压缩感知是一种新兴的采集、处理信号的理论。该理论表明，通过采集少量的测量值就可以实现精确重构稀疏或可压缩信号。在这一过程中使用了随机化、线性、非自适应测量，然后通过非线性的方法恢复原始信号。

　　在实际应用中，压缩传感的测量值必须量化，这是数字化的必经阶段。量化是一个不可逆的过程，不可避免地引入了量化误差。处理量化误差的方法之一是把它当作加性测量噪声，并采用适当的重构算法减小其影响。除此之外，一个恰当的测量模型可以明显改善量化对恢复效果的影响。在压缩感知的体系中，文献［1］首次详细地描述了量化框架。

　　研究表明，当测量值量化至一个比特，即只用一位二进制数来表示测量值的符号时，仍然可以精确、稳定地恢复原始信号［1］。这一特性在实际应用中有很多好处：

　　（1)大大减少了传输和存储过程中所需的比特数。许多场合的优化目标是减少总的比特数，而不仅仅是总的测量数。

　　（2)一比特量化器可以用一个简单、高速的比较器实现。因此，降低采样复杂度可以通过减少表示每个测量值的比特数，而不是测量数来实现。

　　（3)一比特量化对非线性失真不敏感，鲁棒性能好。

1单比特压缩感知

　　2008年，Petros T.Boufounos 第一次系统地阐述了压缩感知体系中的一个全新的测量模型［1］——单比特压缩感知模型。

　　在单比特压缩感知中，观测得到的测量值被量化到单比特，即只用一个二进制比特位来表示测量值大于零还是小于零，然后从这些正负号中恢复原信号。实验结果表明，在能量限定的条件下，仅仅依靠测量值的符号，就可以完全恢复出原始信号［1］。

　　后来，Laurent Jacques等人在2011年对单比特压缩感知从数学上进行了证明，奠定了单比特压缩传感的理论基础。

　　2013年Jacques等人提出了单比特压缩感知的理论框架，主要得到了两个结论：（1）在无噪声情况下单比特压缩感知的重构误差界。（2）通过构造“二值ε稳定嵌入”（Binary εStable Embeddings, BεSE）,证明了当观测矩阵Φ满足类似RIP的特点性质时，即使观测噪声使得观测符号发生了变化，该重构方法仍然稳定。

　　1.1压缩感知

　　假设一长度为N的实信号x，如果它是K稀疏的，即至多有K个元素非零，那么该向量可以通过包含它的M<<N个线性投影的测量向量y获得精确重构，即

　　y=Φx

　　上式中，Φ是M×N维测量矩阵。

　　信号稀疏恢复可通过如下问题求解：

　　=argminx0且y=Φx

　　上式中，*0表示非零元素的个数，可以称为l0范数。然而求解最小化l0范数问题是一个NP难问题，可以考虑运用基于最小化l1范数的等价凸优化模型：

　　=argminx1s.t. y=Φx

　　限制等容量条件（Restricted Isometry Property, RIP）为利用上式重构信号提高了理论保证。

　　定义1（限制等容量条件）称一测量矩阵Φ满足具有参数（K,δ），δ∈(0,1)的限制等容量条件（RIP），如果对所有的K稀疏向量x，有下列式子成立：

　　(1－δ)x22≤Φx22≤(1+δ)x22

　　凸优化是一种有效的压缩感知恢复方法，除此之外，还有其他一些恢复算法，贪婪追踪算法就是最常用的一种。RIP条件也为贪婪追踪算法恢复信号提供了理论保证。

　　1.2单比特压缩感知

　　在单比特压缩感知中，测量值量化至单比特，即只保留测量值的符号：

　　y=sign(Φx)

　　上式中，sign(yi)=yi/|yi|。由于每个测量值只用了一个比特，所以M不仅是测量值个数，还是获得的比特个数。为了获得更好的恢复效果，可以取更多的比特数，甚至多于信号的长度N，此时的M/N可认为是原信号的“比特数/系数”。

　　可以利用一致性恢复概念重构信号，因此，单比特压缩感知要解决以下问题：

　　=argminx0且ys=sign(Φx)

　　然而求解最小化l0范数问题也是一个NP难问题，因此可以利用等价的l1范数并通过凸优化方法实现一致性恢复，从而重构出信号。

　　2基于单比特压缩感知的重构算法

　　本文对基于单比特压缩感知的重构算法进行了调查研究并总结。从单比特压缩感知的重构算法的发展来看，算法大致可以分为两个大类。

　　（1）不检测观测符号翻转情况的重构算法

　　文献［1］中提出了单比特压缩感知的概念，并提出一种单比特压缩感知的重构算法——1bit FPC算法，并利用此算法进行了仿真实验。实验结果表明，在仅知道测量值符号的情况下，此算法仍能准确地恢复出原始信号。

　　文献［2］中提出一个名为Soft Consistency Reconstructions（SCRs）的新算法。该算法是基于一致性标准的软决策方法，而且优于BIHT算法。该算法不需要噪声的先验知识，即不管有无噪声的情况下都能够精确地重构出原始信号。

　　由于文献［2］中的算法并不能保证得出的解为全局最优解，所以，文献［3］提出了一种基于CoSamp的匹配符号追踪算法——Matching Sign Pursuit（MSP）, 这种方法在稀疏度K已知的情况下重构信号。该算法通过贪婪迭代算法，不断寻找包含原始信号支撑集的指标集，进而求解一个小规模的优化问题，最终获得重构信号。实验证明，对于恢复单位长度的稀疏信号，该方法无论是重构误差还是符号一致性，都明显优于FPC和CoSamp。但是，在含有噪声时，该算法却不能精确地重构出原始信号。

　　文献［4］提出了一种新的算法——Restricted Step Shrinkage。这个算法的收敛性在数学上可以得到证明，并且优于MSP算法，拥有更好的抗噪声性能。这是一种类似于置信域的凸优化算法，且该算法的收敛性不依赖于初始值的选取。

　　(2)检测观测符号翻转位置的重构算法

　　在单比特压缩感知中，如果有一个观测符号发生翻转，那么这个观测符号将会对整个重构过程带来较大的影响，如果能探测到发生翻转的观测符号，那么就能更正它们，从而大幅度提高重构精确度。

　　针对上述问题，文献［5］提出了一种稳定的单比特压缩感知方法自适应异常值追踪——Adaptive Outlier Pursuit（AOP）。该算法在稀疏度K已知的情况下，能够探测到符号翻转，并且当发生大量观测符号翻转时，能够以很高的精确度恢复信号。AOP的原理与传统压缩感知中处理脉冲噪声类似，通过一系列的迭代过程自适应地探测符号翻转位置，同时不断地更新观测符号，求相应子优化问题的解，直到收敛。然而，在稀疏度K未知的情况下，AOP的表现不稳定。

　　基于上述问题，文献［6］提出了一种全新的重构算法NARFPI。该方法与AOP不同之处在于：NARFPI方法在子优化问题的罚函数中添加了l1范数，以加强其稀疏性。该方法对观测符号翻转的表现稳定，更重要的是不需要稀疏度K的先验知识。

　　文献［7］中针对许多观测符号同时发生翻转的情况，提出了一种新的算法——Robust Binary Iterative Threshold（RBIHT）。此算法通过计算不一致符号的数量，可检测出符号翻转的位置，从而通过“corrected”测量矩阵重构原始信号。该算法不需要关于噪声的先验知识，在测量噪声和传输噪声同时存在的情况下，也能拥有较高的精确度。

　　文献［8］中提出了NARSS（NoiseAdaptive Restricted Step Shrinkage)算法。在稀疏度K未知、时间是变量和二进制测量矩阵存在噪声的情况下，此算法都有很好的表现。在重构表现、算法的复杂度和算法的收敛速度等方面，与其他的算法相比，该算法都有一定的优势。

3单比特压缩感知的应用

　　单比特压缩感知技术的应用领域比较广泛［9］，本文对此进行了分析与总结。

　　（1）成像领域

　　文献［10］中，在合成孔径雷达成像（SAR）领域中使用了单比特压缩感知技术。在最大后验估计的框架中［11］，作者提出了SAR图像重构问题，并且此问题在运用了单比特压缩感知技术后得到了很好的解决［12］。实验结果证明，此种方法可以提高信号重构算法的信噪比，同时可以有效地抑制噪声的影响。

　　（2）无线传感网络领域

　　文献［11］中，将单比特压缩感知技术运用于无线传感网络的数据收集。在此文中，作者还提出了一种新颖的算法——Blind 1bit CS。在WSN的环境中，该算法与其他算法相比拥有一定的优势。在真实的传感数据库中进行实验后，发现此算法效率很高，且能够大幅度地减少每个传感节点的负担，从而提高工作效率。

　　（3）医学图像领域

　　临床医学上可通过EEG（脑电图）检查进行脑部诊断，而EEG可以通过单比特压缩感知技术获得。文献［13］中，在单比特压缩感知的基础上建立了一个全新的模拟信息转换器的体系结构，用于医学上的EEG检查。实验结果证明，这个新结构能提高EEG的效率和质量。

　　（4）信号传输领域

　　文献［14］中，在单比特压缩感知的基础上建立了一个名为Turbo CS 的编解码模型用于信号的传输，Turbo CS是迭代方法的一种。本文是在高斯白噪声信道的环境下进行传输信号实验的，结果证明Turbo CS的抗噪声性能强，重构精确度高。

　　总的来说，关于单比特压缩感知应用研究的论文并不是很多。

4总结

　　目前单比特压缩感知算法的研究较多，但是还存在继续研究的空间。比如，高信噪比和高精确度同时拥有并且不需要稀疏度K的先验知识，这样的算法较少。而且对单比特压缩感知技术的应用领域的研究并不多，因此，此应用领域的研究可能是将来的一个重要研究方向。

参考文献

　　［1］ BOUFOUNOS P T, BARANIUK R G. 1bit compressive sensing［C］. Proc 42nd Annual Conference on Information Sciences and Systems (CISS), Princeton NJ, 2008:1621.

　　［2］ Cai Xiao, Zhang Zhaoyang, Zhang Huazi, et al. Soft consistency reconstruction: a robust 1bit compressive sensing algorithm［C］. Communication (ICC), 2014 IEEE International Conference on, 10.1109/ICC, 2014: 45304535.

　　［3］ BOUFOUNOS P. Greedy sparse signal reconstruction from sign measurements［C］. Proc. Asilomar Conf. on Signals Systems and Comput, California, 2009:13055301.

　　［4］ LASKA J N, WEN Z, YIN W, et al. Trust, but verify: fast and accurate signal recovery from 1bit compressive measurements［J］. IEEE Transactions on Signal Processing, 2011, 59(11):52895301.

　　［5］ YAN M, YANG Y, OSHER S. Robust 1bit compressive sensing using adaptive outlier pursuit［C］. IEEE Transactions on Signal Processing, July, 2012, 2012:60(7):38683875.

　　［6］ MOVAHED A, PANAHI A, DURISI G. A robust RFPIbased 1bit compressive sensing reconstruction algorithm ［C］. Information Theory Workshop (ITW), 2012 IEEE,2012: 567571.

　　［7］ FU X, HAN F M, ZOU H. Robust 1bit compressive sensing against sign flips［C］. Global Communications Conference (GLOBECOM), 2014 IEEE, 10.1109/ GLOCOM. 2014:31213125.

　　［8］ MOVAHED A, PANAHI A, REED M C. Recovering signal with variable scarcity levels from the noisy 1bit compressive measurements［C］. Acoustics, Speech and Signal Processing, 2014 IEEE International Conference on, 10/1109/ICASSP. 2014:64546458.

　　［9］ DONG X, ZHANG Y. A map approach for 1bit compressive sensing in synthetic aperture radar imaging［J］. IEEE Geosciences and Remote Sensing Letters， 2015，12（6）: 12371241.

　　［10］ CHEN C, WU J. Amplitudeaided 1bit compressive sensing over noisy wireless sensor networks［J］. IEEE, Wireless Communications Letters, 2015，4（5）: 473476.

　　［11］ 宋万均,张安堂.双基地雷达目标速度计算的FPGA实现［J］.电子技术应用,2014,40(1):4749,52.

　　［12］ 查宣威,岑峰.DC恢复算法及其在图像压缩编码中的应用［J］.微型机与应用,2013,32(1):3739.

　　［13］ HABOBA J, MANGIA M, ROVATTI R, et al. An architecture for 1bit localized compressive sensing with applications to EEG［C］. Biomedical Circuits and Systems Conference (BioCAS), IEEE,2011: 137140.

　　［14］ MOVAHED A, REED M C. Iterative detection for compressive sensing: Turbo CS［C］. Communications (ICC), IEEE International Conference on. 2014: 45184523.