张兢,李冠迪，史文进，曾建梅
（重庆理工大学 电子信息与自动化学院，重庆 400054）
摘要：分析了小波去噪的特点，针对软、硬阈值的缺陷，构造出一种新的阈值函数及阈值估计方法。新阈值函数连续可导并且新阈值估计方法具有优良的自适应性。仿真实验表明，该方法可以有效去除白噪声干扰，信噪比更高，均方根误差更小，且重构信号的近似性好。
关键词：小波阈值去噪；阈值函数；阈值估计；信噪比；均方根误差
0引言
在信号的采集、传输过程中，不可避免地会受到各种噪声干扰，对信号去噪处理已成为人们关注和研究的热点。小波变换具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信号局部信息的能力［1］，时间窗和频率窗都可以根据信号的具体形态动态调整，能有效区分非平稳信号中的突变部分和噪声［2］，可在提高信噪比的同时保持对突变信息的良好分辨能力。
小波去噪方法有：模极大值法、小波阈值去噪法以及相关去噪法。其中，运用最为广泛的是DONOHO D L在1995年提出的小波阈值去噪的算法［3-4］，该方法处理含噪信号时采用软阈值函数与硬阈值函数。但传统软阈值函数存在恒定偏差缺陷，以及硬阈值函数有振荡现象的缺陷［5］。本文深入分析小波软硬阈值的优缺点，综合其他学者提出的阈值函数，在此基础上构造出一种新的阈值估计与阈值函数。通过仿真实验分析，新阈值函数连续可导，既解决了软阈值函数存在恒定偏差的问题，又解决了硬阈值函数存在振荡现象的问题，具有较好的实用性。
1小波阈值去噪基本原理
1.1小波变换
假设含噪信号的观测值为f(t)，则:
其中,s(t)为信号在时刻t的真实值，n(t)为高斯白噪声，σ为噪声标准差。小波变换的目的是抑制n(t)以恢复s(t)。对于一维信号f(t)而言，首先要对它进行离散采样，得到N点离散信号f(n),n=1,2,…,N-1，其小波变换为：
ωf(j,k)为小波系数记为ωj,k。由于小波变换属于线性变换，因此对含噪信号f（t）=s(t)+σn(t)作离散变换后，得到的小波系数j,k仍旧是由真实信号s(t)对应的小波系数和噪声信号n(t)所对应的小波系数两部分组成。
1.2小波阈值去噪
从数学角度分析，小波阈值去噪本质上是函数逼近问题；从信号处理角度分析，则为信号滤波问题［6］。在实际信号中，噪声通常分布在高频信号中，而纯净信号通常分布在低频信号中，则可通过设置阈值方法将噪声信号分离出去［7］。小波阈值去噪法的流程图如图1所示。
其中，f(x)为含噪信号，f^(x)为重构信号。由以上流程图可得阈值函数和阈值的选取直接影响到最终的去噪效果，阈值选取过小，则会消噪不足，致使信号的弱特征成份被噪声淹没；反之，则会导致“过扼杀”的现象。
设ωj,k为原始小波系数，ω^j,k为阈值处理后的小波系数，λ=σ2log(N)为统一阈值，则λ>0，传统阈值去噪有：
（1）硬阈值（Hard Thresholding）
（2）软阈值（Soft Thresholding）
为了对比软阈值与硬阈值的处理效果，设一原始信号为：
分别对其进行软阈值和硬阈值去噪，仿真结果如图2所示。
由图2可知，硬阈值函数在ωj,k=±λ处不连续，去噪时造成较大方差，重构信号出现伪吉布斯现象。软阈值函数的小波系数连续性虽好，但当ωj,k>λ或ωj,k<－λ时，软阈值对小波系数进行压缩时存在恒定的偏差，并且软硬阈值函数不具有高阶可导性，不易实现数字处理。因此，寻找一种既可以克服软硬阈值缺陷，又高阶可导的新阈值函数至关重要。
2新阈值函数与阈值估计
2.1阈值函数的选取
针对上述软阈值与硬阈值的不足，学者们提出了许多改进阈值函数，较经典的如参考文献［8］提出的一种自适应的阈值函数：
上述的阈值函数具有很好的自适应性，但是却存在振荡和伪吉布斯效应，在阈值处并不光滑。为了克服这些弱点本文在此基础之上构造了一种新的阈值函数：
其中,α为调节参数，由式（7）可以看出，当α→0时为软阈值函数，当α→∞时为硬阈值函数。由此可见，构造的新阈值函数同时具有软阈值函数与硬阈值函数特点，灵活性较好。因此根据不同的去噪目的去调节α值，可得到较好的去噪效果。并且当ωj,k→±λ时，j,k→0,j,k在ωj,k=±λ处是连续的，即与硬阈值函数相比，重构信号不会产生震荡。
构造的新阈值函数不但具有连续性，并且当ωj,k>λ或ωj,k<-λ时具有高阶可导性，新阈值函数对各种数字信号处理都很方便，证明如下：
由式（8）~（12）可知，f（x）以y=x作为渐近线，同理可得本文采用的改进的阈值函数以j,k=ωj,k为渐近线，并且ωj,k值越大，小波系数估计值j,k越接近ωj,k,进而克服硬阈值的小波系数不连续,以及软阈值函数的j,k与ωj,k存在恒定偏差的缺陷。
2.2改进阈值估计
在小波阈值去噪中不仅阈值函数是影响去噪效果的关键因素，阈值估计也至关重要。目前，人们通常采用统一阈值，但是此阈值与信号长度N相关，信号长度N越大，小波系数被置0的数目越多，导致“过扼杀”现象［9］；反之则会导致消噪不足的现象。为了避免上述现象发生，在统一阈值的基础上引入了一个适中的收缩因子，新阈值估计的数学公式为：
式中，σ为噪声标准差，Nj为各层高频系数的长度，L为分解层数。由式（13）可得：随着分解层数L的不同，阈值估计的大小随之自动调节，因此具有较强的自适应性。
3仿真实验及分析
3.1去噪效果的评价指标
采用信噪比SNR和均方根误差RMSE对去噪效果进行比较评价，信噪比表示的是信号中含有噪声的多少，其值越大，信号中噪声含量越少；均方根误差表示测量样本的可靠性，其值越小，测量的可靠性越高。表达式如式（14）和式（15）所示。
其中，f(i)为原始不含噪信号，f^(i)为去噪后的信号，N为信号长度。
3.2实验结果分析
为了验证新阈值函数的有效性，用MATLAB2010对其进行仿真，将一段含有噪声的Leleccum信号分别采用硬阈值、软阈值、参考文献［8］提出的阈值函数及本文构造的新阈值函数进行去噪实验。经多次试验可得，选取sym4小波分解5层，且调节参数α取值为5×10-5时得到的效果最好。所以本实验选取sym4小波及5层小波分解进行实验。实验中含噪Leleccum信号的信噪比为26.199 6 dB，调节参数α=5×10-5，进行仿真实验，测试结果如图3所示。
从图3可以看出，本文提出的改进阈值函数小波重构得到的信噪比硬阈值函数以及参考文献［8］提出方法重构信号更平滑，比软阈值函数重构信号保留的有用信号更多，因而能更好地还原原始信号所包含的信息。
表1给出了4种阈值函数去噪后的信噪比和均方误差。从实验结果数据可以看出，本文提出的阈值方法相比软、硬阈值方法以及参考文献［8］方法，在信噪比和均方根误差两个性能指标上均有明显的提高，说明改进后的方法可靠性更强，去噪效果更好。
4结论
本文构造出了新阈值函数和阈值估计方法，新阈值函数具有软硬阈值优点，同时具有连续可导性，并且通过自适应调整参数α消除了软阈值函数的恒定偏差、硬阈值函数不连续以及引用参考文献提出的阈值函数光滑性差的缺点。改进的阈值估计随分解尺度的变化自适应调节阈值的大小，避免了“过扼杀”现象的产生。仿真结果表明，新阈值去噪方法重构得到的信号质量明显优于软阈值方法、硬阈值方法以及参考文献［8］提出的方法，在去除噪声的同时很好地保留了有用信号，证明了算法的有效性与实用性。
参考文献
［1］ 刘征.雷达辐射源信号的时频分析方法研究［D］.太原：中北大学，2011.
［2］ 王旭.小波阈值去噪法在建筑物变形监测数据处理中的应用研究［D］.阜新：辽宁工程技术大学，2011.
［3］ DONOHO D L, JOHNSTONE I M.Ideal spatial adaptation via wavelet shrinkage［J］.Biometrika,1994,81(12):425 455.
［4］ DONOHO D L.Denoising by softtresholding［J］.IEEE Transactions on Information Theory,1995,41(3):613 627.
［5］ 张弛，李翔，姚磊.一种改进的小波阈值函数去噪方法［J］. 计算机与现代化,2014,40(3)：219 222.
［6］ 景新幸，冼灿娇，杨海燕.基于改进的小波阈值去噪算法的研究［J］.电声技术，2015,39(5):80 83.
［7］ MALLAT S G. Theory for multiresolution signal decomposition:the wavelet representation［J］.IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,1989,11(7):674 693.
［8］ 夏欣，李海标，沈兰兰，等．一种改进的小波阈值裂纹图像去噪法［J］. 电子设计工程，2013,21(18):130 132.
［9］ 王琪,程彬,杜娟,等.一种改进的小波阈值图像去噪方法［J］.计算机与现代化，2015(4):65 69.