0 引言

    DC-DC开关变换器在电力电子工业、军工系统中有着十分广泛的应用^[1]。并且手持式电子设备、移动手机等用电设备对供电电源的轻载效率、瞬态响应特性以及负载范围提出了更高的要求^[2]。因此，对开关DC-DC变换器控制决策的改进成为了越来越多的科研工作者研究的重点，并促使大量科研工作者对数字DC-DC控制进行研究，取得了相当大的成果。

    文献[3]为了提高DC-DC变换器的瞬态响应性能，设计了一款基于数字预测的模糊PID控制器，通过预测机制实现了瞬态响应的提高，并通过数字FPGA控制器进行验证；文献[4]基于数字PID控制设计了一款高精度的可调LED恒流驱动器，详细介绍了恒流源的设计过程，但没有对于数字PID参数的设计进行详细分析；文献[5]基于数字PID提出了混合控制模式的策略，通过对输入电压和电流波形进行控制，较好地实现了功率因数校正，DC-DC Boost变换器转换效率达到91%；文献[6]基于可编程门阵列（FPGA）实现了DC-DC Buck变换器的数字控制，通过对广义比例积分（GPI）控制器和比例积分微分（PID）控制器进行比较，得出了GPI控制在扰动抑制方面有更好的动态响应；文献[7]提出了一种基于微处理器的电流跟踪数字控制，实现了在输入电压突变、负载突变以及启动过程中具有较好的动态性能；文献[8]、[9]提出非线性PID数字控制，通过仿真验证了在不同负载变化下的启动瞬态响应，非线性变换器有着更好的补偿性能。

    本文在以上研究的基础上，扩宽数字PID控制的应用范围，基于对输出电压的采样分析，提出多组PID切换数字控制补偿的方法。通过切换PID数字控制使得控制器可以快速响应负载或输入电压的变化，同时能够保证有良好的稳态性能。本文以Buck变换器为例，分析了多组PID切换数字控制器的性能，研究和分析了其瞬态响应特性。最终通过理论分析和仿真对比验证了多组PID切换数字控制器具有优越的稳态性能和瞬态响应。

1 DC-DC Buck模型分析

    在DC-DC转换器中，输出电压是输入线电压、占空比和负载电流的函数，期望在诸如输入电压或负载电流的突然变化之类的扰动情况下具有恒定的输出电压^[10]。图1给出了Buck变换器的电路图。

    在式(1)中给出了Buck变换器的输出控制小信号传递函数，并利用标准的状态空间平均法得到了该函数^[9]。

    由式(2)通过MATLAB绘制开环Buck的伯德图如图2所示，由图2可知，系统穿越频率为1.941 7 kHz，同时开环Buck的相位裕度为21.9°，增益裕度无穷大。并且由于Buck变换器输出电压采样和占空比更新之间存在一个固定的周期延迟，由函数建模，其中T为数字控制器对电压的采样周期(20 ?滋s)。图3所示为带有延迟时间的Buck变换器传递函数的伯德图。通过图3可以得出系统的穿越频率没有发生变化，但相位裕度变为7.92°，增益裕度为20.1 dB。

    图3伯德图显示系统具有较小的相位裕度。因此必须要设计相应的补偿器，以确保低频率的增益足够高，使得稳态误差最小。由文献[11]可知在工程领域，相位裕度Ψ_m(ω_c)=45°表示系统具有足够的相位裕度。因此补偿系统后的相位裕度应大于45°才足以满足瞬态响应的要求。同时，由文献[12]可知在工程领域中，通常认为增益裕度K_g≥10 dB时，系统具有足够的增益裕度。本文在接下来的章节里对数字PID补偿器进行了设计。

2 数字PID设计

    如图4所示反馈电压信号通过与数字电压基准作差，得出差值作为驱动变换器占空比的控制信号，然后通过比例积分微分（PID）控制器计算更新占空比。式(3)给出了PID控制规律的基本输入/输出关系的微分方程，并由式(4)给出模拟PID控制器的传递函数^[10，13]。

    以上公式中，K_P是比例增益，K_I是积分增益，K_D是微分增益。

    PID控制器的设计在连续时间域，通过使用向后积分法（Euler法则）^[14]，可以得到式（5）所示离散时间传递函数变换后的差分方程^[5]。

    在式(5)中，u(k)为第k次采样计算更新所得占空比， e(k)为第k次的误差。 e(k)由式(6)计算所得，即基准电压值与第k次输出电压值的误差。式中 e(k)- e(k-1)表示的是第k次的误差和第k-1次的误差差值。    

    如图5所示，为了使Buck电路系统保持良好的暂态响应和稳态响应，通过设计两组PID控制器增益切换的方式补偿系统。其中一种用于暂态期间使用为PIDI，另一种用在稳态期间使用为PIDII。暂态期间使用的PIDI控制器增益使其具有较高的相位裕度(≥45°)和较高的带宽，此PIDI设计系统将会产生较快的瞬态响应和较好的稳态响应。稳态期间使用的PIDII控制器增益使其相位裕度高于暂态相位裕度，带宽低于暂态期间的带宽，此PIDII设计系统将会产生较慢的瞬态响应，但是会使稳态响应更好。两组PID的切换取决于第k次采样的误差值e(k)的大小， 设定一个Δ值，若|e(k)|＞Δ则切换到PIDI，若|e(k)|≤Δ则切换到PIDII。通过PID之间的切换确定新的PWM，从而使得系统能够快速地响应负载和输入电压的变化，同时保持良好的稳态性能。

    由式（7）给出PIDI的传递函数，并对加入PIDI补偿环节的系统进行伯德图绘制。由图6所示，可以得出系统的增益裕度K_g1=12.3 dB≥10 dB，有足够的增益裕度；系统的相位裕度Ψ_m1(ω_c)=84.4°≥45°，有足够的相位裕度；系统穿越频率ω_c1=1.41×10³ Hz。由式(8)给出PIDII的传递函数，并对其系统进行伯德图绘制。由图7所示，可以得出系统的增益裕度K_g2=18.8 dB≥10 dB，有足够的增益裕度；系统的相位裕度Ψ_m2(ω_c)=86.7°≥45°，有足够的相位裕度；系统穿越频率ω_c2=7.018×102 Hz。由于穿越频率ω_c表征系统的响应速度，ωc越大，系统的响应速度越快，因此PIDI的系统响应速度比PIDII的响应速度更快。同时由于相位裕度越大，系统超调量越小，因此PIDI的系统超调大于PIDII的系统超调。

3 仿真

    仿真的具体实现方式为：利用MATLAB/Simulink中的电气模块搭建仿真模型。搭建电气电路的时候，利用模块化方法，将Buck电路封装为“DC-DC Buck Converter”子模块，PID补偿环节封装为“Compensated”子模块，使搭建的模型条理清晰，如图8所示。

    图8中“Compensated”子系统的Simulink PID切换补偿仿真见图9，“In1”输入的为输出电压与参考电压的误差e(k)，经饱和模块“Saturation”，延时模块“Transport Delay”，再经模块“Abs”对误差e(k)取绝对值，在“Switch”模块中设置“Threshold”值为0.2（即Δ=0.2 V），当|e(k)|＞0.2 V时PIDI模块与PWM模块连接产生方波，当|e(k)|≤0.2 V时PIDII模块与PWM模块连接产生方波。 

    如图10所示，通过仿真结果图中的峰值时间t_p1＜t_p3＜t_p2可以得出：当只有PIDI作为补偿控制时，输出响应最快，但同时峰值为7.5 V，超调量σ₁=50%较大，进入稳态时纹波最大为0.1 V，稳态误差较大；当只有PIDII作为补偿控制时，输出信号较PIDI慢，同时峰值为5.4 V，超调量σ₂=8%＜σ₁，进入稳态时纹波最大为0.03 V，稳态误差较小；当PIDI和PIDII切换模式作为补偿控制时，输出信号响应比PIDI慢但快于PIDII，同时峰值约为5.45 V，超调量σ₂＜σ₃=9%＜σ₁。通过对图10中“PIDI and PIDII”稳态部分进行放大，可以得出当系统进入稳态时的波纹最大为0.04 V，系统电压输出精度高达99%以上。 

    如图11所示，当不改变电路其他参数的情况下，负载电阻发生突变时，可以得出切换数字PID控制时的电路负载调整率为2%。如图12所示，当不改变电路其他参数的情况下，输入电压突变时，将稳态时的输出电压波形图进行放大，可以求得输入电压突变情况下的系统电压输出精度高达98%以上。进一步仿真还可验证得出，当输入电压在6 V~30 V范围内，要求输出参考电压5 V的情况下，电压实际输出误差率小于等于2%。  

4 结论

    本文提出切换PID控制器改善Buck变换器稳态性能的方法。数字PID控制可以根据输出电压误差的绝对值进行切换，这既可以实现快速的瞬态响应，也可以产生更好的稳态性能。本文在Simulink中搭建仿真模型，通过Buck变换器进行测试，仿真结果表明：(1)在保持良好的瞬态响应的同时，可以获得良好的稳态性能；(2)当负载发生变化时，可以获得较好的负载调整率；(3)当输入电压发生变化时，输出电压误差率小于等于2%。

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作者信息:

吴志强，于莲芝，孔梦君

（上海理工大学 光电信息与计算机工程学院，上海200093）