图1中,S为n维输入矢量空间;A为联想记忆空间;Y是输出响应矢量。输入空间S中的每一矢量S(…,S_i,…,S_j,…)被量化后送入存储区A,每个输入变量S_i激活存储区A中C个连续存储单元" title="存储单元">存储单元。网络输出y_i为这C个对应单元中值(即权w_i)的累加结果,对某一输入样本,总可通过调整权值达到期望输出值。由图1可以看出,每一输入样本对应于存储区A中的C个单元,当各样本分散存储在A中时,在S中比较靠近的那些样本就会在A中出现交叠现象,其输出值也比较相近,即这C个单元遵循“输入相邻,输出相近”的原则,这种现象被称为CMAC神经网络的局部泛化特性,C为泛化参数。C越大,对样本的映射关系影响越大,泛化能力越好。
    CMAC网络的学习采用误差纠正算法,计算量少,收敛速度快。其权值修正公式及输出可表示如下:
   

    式中,η为学习步长,y_d为期望输出,m_i为输入变量S_i激活存储单元的首地址。修正方法可以采用每个样本修正一次的增量学习方法,也可以采用所有样本都输入一轮后再修正的批量学习方法^[2]。
1.2 多维CMAC网络的计算方法
    由上述CMAC模型的算法可知,应用传统的多维CMAC概念映射算法会因输入维数的增大而使存储空间剧烈增大,从而使网络计算量增大,收敛速度变慢^[3]。这里采用一种新的多维CMAC网络的处理方法——叠加处理法。即把输入空间为n维的多维CMAC网络看作是由n个一维CMAC网络叠加而成,其输出为n个一维子网络的输出的叠加^[4～5]。
    当输入空间的维数n=1时,对于每一个输入变量,都激活C个连续存储单元,即有C个对应单元的权值输出非零。它的激励情况如表1所示。

    经归纳,输入变量Si激活存储单元的首地址m_i的计算方法如下:
   

其中,S_i为输入量的量化值;C为泛化参数;Δ为相邻输入激活存储单元的重叠单元数大小。若输入矢量有q个量化级,则存储区A需要q(C-Δ)+C个存储单元。
    当输入空间的维数n>1时,设输入空间为n维矢量S_i=(S_i1,S_i2,…,S_in),对于每个分量S_ij,都可以看作图1所示结构模型的一维输入量。由式(3)可得其对应的输出为

其中,m_j为S_ij所激活存储单元的首地址。整个CMAC网络可看作由n个如图1所示的子网络组成,S_i对应的输出y_i可看作n个子网络输出y_ij(j=1,2,…,n)的叠加。
   

    若每个输入分量有q个量化级,每个子网络中两相邻样本有Δ个单元重叠?熏采用上述叠加方法共需存储单元n×[q(C-Δ)+C]个。而对于传统的多维概念映射算法来说,n维输入空间中可能的输入状态为qⁿ个。对于一些实际系统,qⁿ往往远远大于n×[q(C-Δ)+C]。例如8维输入,量化级为200个等级,泛化参数C取为40,相邻输入激活存储单元的重叠单元数大小Δ为35,则用叠加处理法需要11200个存储单元,而用传统的概念映射算法需要200⁸个存储单元。对于传统的概念映射算法所带来的要求存储空间过大的问题,最常用的方法是把A当作一个虚拟存储区,通过散射编码映射到一个小得多的物理空间单元A_p中,从而减少存储空间。但是这种地址压缩技术随机性很强,会带来冲撞问题且不可避免。然而,对多维CMAC网络采用叠加处理法,不但可以大大减少占用的存储单元数,而且还可以避免地址压缩带来的冲撞现象,大大提高网络的映射精度和学习速度^[5～6]。
2 实验及仿真结果
    实验是在山东大学现代物流实验中心进行的。该机器人手眼系统由用于抓取物体的SK6机械手和用于视觉定位的Panasonic WV-CP410/G彩色摄像头组成。摄像头采集的图像是二维的,而机械手运动到某一位置需要六自由度坐标。因此必须把二维图像坐标转换成机器人运动空间的六维坐标,才能控制机器人运动到指定的空间位置,这就是机器人手眼系统位置控制问题。本文采用CMAC神经网络实现了这一坐标变换,并对其结果与BP网络进行了比较。
    本实验共采集到793个输入样本,选取CMAC网络的量化精度Q为1000,泛化参数C为80,学习步长η为0.30。图2(a)和(b)分别为对CMAC网络训练25次和对BP网络训练5000次的误差平方和" title="平方和">平方和曲面图。可以看出,CMAC网络在训练次数少于BP网络的情况下,其误差平方和远远小于BP网络,且误差分布比较均匀。图3(a)和(b)分别为CMAC网络和BP网络的误差平方和随学习次数的增加而变化的曲线图。由图可知CMAC网络的学习速度较BP网络有较大提高。