摘  要： 提出了均匀三次B-spline曲线反算的快速算法。在Matlab中编程实现，大大降低了程序的复杂性，提高了运算效率，并使重构所得曲线的两个端点处曲率不为零，满足了一阶连续，并给出了应用实例。
关键词： 逆向工程；B-spline；反算算法；Matlab

　在计算机辅助几何设计(CAGD)实践中，常遇到设计者事先并不知道控制多边形顶点的位置，而只知道曲线上的某些型值点的情况。从设计角度上来说，通常考虑的是曲线的大致形状，而非控制多边形的大致形状。为了构造B-spline曲线，就需要由已知的型值点反算出控制多边形的顶点。在实际工程应用中，B-spline 曲线的反算过程所涉及到的计算量很大，因此讨论B-spline 曲线的快速反算算法有着很重要的意义[1]。
　对于三次均匀B-spline曲线的反算，朱心雄[2]给出了一种计算速度快且易于编程的反算控制顶点的迭代方法，可以得到在允许误差范围内的C2连续曲线。而参考文献[3]通过A-1的研究对三对角矩阵提出了一种优于追赶法和LU分解法的求解方法。但是它们都是以两端曲率为零作为边界条件，可能出现人们所不希望看到的曲线在端点处不连续的现象。针对B-spline 曲线的反算过程计算量大，重构曲线端点处曲率不连续的问题，本文提出了一个有效的解决办法，并在Matlab[4]中予以编程实现，大大降低了程序的复杂性，提高了运算效率，并使重构所得曲线的两个端点处曲率不为零，至少满足了一阶连续。

　式中总共有m+1个线性方程组，但有n+1个控制顶点未知量。因此，要想得到唯一解，需要另外补充两个方程，这两个方程一般由边界条件给定。边界的补充条件有多种形式，如给定两端点的切向量、自由端点条件、虚节点条件和抛物线条件等，实际应用中根据具体情况选取适合的边界补充条件。有了补充方程，即可用迭代法或追赶法等求解所建立的线性方程组。
2 快速反算算法
　将定义在每一个节点区间上用整体参数u表示的B-spline基变换成用局部参数t∈[0，1]表示，则三次均匀B-spline曲线段的矩阵表示为：

参考文献
[1] 刘德平．逆向工程关键技术及其应用研究[D]．西安：西安电子科技大学，2008．
[2] 朱心雄．自由曲线曲面造型技术[M]．北京：科学出版社，1999．
[3] 吴光亚，王小华．反求三次B样条曲线控制顶点的一种快速算法[J]．杭州电子科技大学学报，2005，25(3)：64-66．
[4] 王学辉，张明辉．Matlab 6.1最新应用详解[M]．北京：中国水利水电出版社，2002．