摘  要： 在高速设计中，反射是其中的一个重要问题。消除反射的最好办法就是保证传输线的阻抗连续。分别从基于集总LC模型的理想无损传输线和基于集总RLGC模型的传输线的阻抗连续特性出发，通过归纳的方法得到了基于集总LC模型的理想无损传输线和基于集总RLGC模型的传输线的阻抗计算公式。

　　关键词： 反射；阻抗连续性；传输线；集总模型

　　在电子系统中，设备与设备之间，器件与器件之间都是通过导线相连的。常见的传输线既包括平行双导线、同轴线和双绞线等电缆传输线，也包括PCB板上微带线和带状线，如图1所示。这些导线有的很短，也有导线很长，信号从信号源端传到负载终端需要一定的时间，这段时间对于低速电路系统可以忽略，但是对于高速电路系统会产生重要影响，不能忽略。对于这种必须考虑信号传输的连接线，称之为传输线。由于信号在其上的传输需要时间，因而常常也将传输线称之为延迟线。

　　如果传输线的任何一处的横截面都相同，就称为均匀传输线，由于其阻抗可控，也称为可控阻抗传输线。如果传输线的横截面不均匀，就会出现阻抗不连续。阻抗不连续的后果就是高速信号在传输时出现电磁波的反射，使信号波形严重畸变，并且引起一些有害的干扰脉冲，影响整个系统的正常工作。

　　通常阻抗定义为电压与电流之比。在传输线中，这个定义仍然有效，传输线上任何一处的瞬时电压与瞬时电流成正比，流过传输线的瞬时电压和瞬时电流的比值就称为瞬态阻抗[1]。传输线的瞬态阻抗仅由传输线的横截面和材料特性共同决定，瞬态阻抗等于施加的电压与流过器件的电流的比值。特性阻抗是传输线的固有属性，仅与材料特性、介电常数、频率有关，而与传输线的长度无关。只要这3个参数不变，瞬态阻抗就是一个常数。对于一个均匀的传输线，任何一处的瞬态阻抗都是相同的，这样一个恒定的瞬态阻抗就称为传输线的特性阻抗。

　　传输线是一个典型的分布参数系统，信号是以电磁波的形式在信号通道上传输，信号通道是由电阻、电容、电感及电导组成的复杂网络。通常在电路分析中，使用集总参数系统来描述传输线。集总参数系统就是把传输线的某一段分布参数（如阻抗、容抗、感抗和电导）作为一个元件集中于空间的各个点上，各点之间的信号是瞬间传递的。本文将传输线分为基于集总LC模型的理想无损传输线和基于集总RLGC模型的实际传输线两种情况来讨论，得到各自状况下的阻抗计算公式。

　　1 基于集总LC模型的理想无损传输线阻抗求解

　　理想无损是一种理想状态，在该状态下，整个传输线可以用集总LC模型来描述。首先从简单的单节理想传输线的集总LC模型出发，逐步过渡到两节，甚至n节，最后推广到无穷节集总LC模型，得到理想状况下的阻抗计算公式。

　　1.1 单节理想传输线集总LC模型

　　单节理想传输线集总LC电路模型如图2所示[2]。整个传输线由分布电感L和分布电容C及特性阻抗Z0组成。

　　根据阻抗连续特性的要求，必然得到A的阻抗ZA和特性阻抗Z0相等，根据这个条件得到下列方程：

　　ZA=//（j?棕C+Z0）=Z0（1）

　　求解方程可以得到特性阻抗Z0：

　　Z0=-j（2）

　　1.2 两节理想传输线集总LC模型

　　把整个传输线分成两段，组成两节理想传输线集总LC模型。如图3所示，两节理想传输线集总LC模型的组成和单节理想传输线集总LC模型类似。不同的是它由两个单节模型组成，而且其中的分布电感为L/2，分布电容为C/2。

　　假设单节集总LC模型的阻抗公式依然成立，将分布电感L/2和分布电容C/2带入式（2）后得到：

　　Z0=-j（3）

　　将Z0的值代入后求得：

　　ZB=-j=Z0（4）

　　将ZB的值代入后求得：

　　ZA=-j=ZB=Z0（5）

　　通过式（5），得到了两节集总LC模型的阻抗公式。同时证明了前面假设的单节集总LC模型的阻抗公式在两节模型中依然成立。

　　1.3 n节理想传输线集总LC模型

　　把整个传输线分成n段，组成n节理想传输线集总LC模型，如图所示。n节理想传输线集总LC模型的组成和单节理想传输线集总LC模型类似。不同部分是它由n个单节模型组成，而且其中的分布电感为L/n，分布电容为C/n。依然假设单节集总LC模型的阻抗公式成立，根据单节集总LC模型的阻抗公式，将分布电感L/n和分布电容C/n带入式（2）后得到：

　　Z0=-j（6）

　　将Z0的值代入后求得：

　　ZB=-j=Z0（7）

　　逐级带入后求得：

　　ZA=-j=…=ZB=Z0（8）

　　通过式（8），得到了n节集总LC模型下的阻抗公式。同样证明了前面假设的单节集总LC模型的阻抗公式在n节模型中依然成立。因此可以将式（6）推广到任意节集总LC模型。

　　用集总LC模型来模拟传输线，模型的节数越多越能近似模拟理想传输线，所以可以取LC节数为无穷大。根据上面的结论，当n→∞，可以得到：

　　就是得到的理想状态下传输线的阻抗计算公式。当n→∞，可以得到一个简明的无穷节集总LC电路模型，如图5所示[3]。

　　2 基于集总RLGC模型的传输线阻抗求解

　　实际的传输线一般用集总RLGC模型来描述。首先从简单的单节集总RLGC模型出发，逐步过渡到两节，甚至n节、无穷节集总RLGC模型，得到实际状况下的传输线的阻抗计算公式。

　　2.1 单节传输线集总RLGC模型

　　单节传输线集总RLGC电路模型如图6所示[4]。整个传输线由分布电感L、分布电阻R、分布电导G和分布电容C及特性阻抗Z0组成。

　　根据传输线阻抗连续特性的要求，必然得到A的阻抗ZA和特性阻抗Z0相等，根据这个条件得到下列方程：

　　ZA=//（R+j?棕C+Z0）=Z0（10）

　　求解方程可以得到特性阻抗Z0：

　　Z0=zB+ZA（11）

　　2.2 两节传输线集总RLGC模型

　　把整个传输线分成两段，组成两节传输线集总RLGC模型。两节传输线集总RLGC模型的组成和单节传输线集总RLGC模型类似。不同的是它由两个单节模型组成，而且其中的分布电感为L/2，分布电阻为R/2，分布电导为G/2，分布电容为C/2。

　　假设单节集总RLGC模型的阻抗公式依然成立，将分布电感L/2、分布电阻R/2、分布电导G/2和分布电容C/2带入式（11）后得到：

　　Z0=L/2+ZB（12）

　　将Z0的值代入后求得：

　　ZB==Z0（13）

　　将ZB的值代入后求得：

　　ZA==ZB=Z0（14）

　　通过式（14），得到了两节集总RLGC模型下阻抗公式。同时证明了前面假设的单节集总RLGC模型的阻抗公式在两节模型中依然成立。

　　2.3 n节传输线集总RLGC模型

　　把整个传输线分成n段，组成n节传输线集总RLGC模型。n节传输线集总RLGC模型的组成和单节传输线集总RLGC模型类似。不同部分是它由n个单节模型组成，而且其中的分布电感为L/n，分布电阻为R/n，分布电导为G/n，分布电容为C/n。依然假设单节集总RLGC模型的阻抗公式成立，根据单节集总RLGC模型的阻抗公式，将分布电感L/n、分布电阻R/n、分布电导G/n和分布电容C/n

    到了n节集总RLGC模型下的阻抗公式。同样证明了前面假设的单节集总RLGC模型的阻抗公式在n节模型中依然成立。通过上述的归纳证明，可以推广到任意节集总RLGC模型。

　　同样用集总RLGC模型来模拟传输线，模型的节数越多越能近似模拟理想传输线，所以可以取RLGC节数为无穷大。根据上面的结论，当n→∞，可以得到：

　  就是得到的实际状况下的传输线阻抗计算公式[5]。当n→∞，可以得到一个简明的无穷节集总RLGC电路模型，如图所示。

　　通过上面的归纳证明，从传输线阻抗连续特性方面得到了传输线在理想状况下和实际状况下的阻抗计算公式，也是从另一个角度用理论的方法验证阻抗计算公式的正确性。对深入了解阻抗计算公式提供了理论基础。从上面的模型也可以看出，负载匹配是传输线阻抗连续的必要条件，如果负载不匹配，会导致传输线阻抗出现不连续。

　　参考文献

　　[1] ERIC BOGATIN著，李玉山，李丽平译.信号完整性分析[M].北京：电子工业出版社，2005.

　　[2] JOHNSON H， GRAHAM M. High speed digital design[M]. New Jersey： Prentice Hall PTR， 1993.

　　[3] JOHNSON H. High speed signal propagation[M]. New Jersey： Prentice Hall PTR，2003.

　　[4] 陈伟，黄秋元，周鹏.高速电路信号完整性分析与设计[M].北京：电子工业出版社，2009.

　　[5] 梁昌红，王新稳，李延平，等.微波技术与天线[M].北京：电子工业出版社，2011.