引言
由于线性放大驱动方式" title="驱动方式">驱动方式效率和散热问题严重，目前绝大多数直流电动机采用开关驱动方式。开关驱动方式是半导体功率器件工作在开关状态，通过脉宽调制PWM控制电动机电枢电压，实现调速。目前已有许多文献介绍直流电机调速，宋卫国等用89C51单片机实现了直流电机闭环调速；张立勋等用AVR单片机实现了直流电机PWM调速；郭崇军等用C8051实现了无刷直流电机控制；张红娟等用PIC单片机实现了直流电机PWM调速；王晨阳等用DSP实现了无刷直流电机控制。上述文献对实现调速的硬件电路和软件流程的设计有较详细的描述，但没有说明具体的调压调速方法，也没有提及占空比与电机端电压平均值之间的关系。在李维军等基于单片机用软件实现直流电机PWM调速系统中提到平均速度与占空比并不是严格的线性关系，在一般的应用中，可以将其近似地看作线性关系。但没有做深入的研究。本文通过实验验证，在不带电机情况下，PWM波占空比与控制输出端电压平均值之间呈线性关系；在带电机情况下，占空比与电机端电压平均值满足抛物线方程，能取得精确的控制。本文的电机闭环调速是运用Matlab拟合的关系式通过PID控制算法实现。
1 系统硬件设计
本系统是基于TX-1C实验板上的AT89C52单片机，调速系统的硬件原理图如图1所示，主要由AT89C52单片机、555振荡电路、L298驱动电路、光电隔离、霍尔元件测速电路、MAX 232电平转换电路等组成。
2 系统软件设计
系统采用模块化设计，软件由1个主程序，3个中断子程序，即外部中断0、外部中断1，定时器0子程序，PID算法子程序，测速子程序及发送数据到串口显示子程序组成，主程序流程图如图2所示。外部中断0通过比较直流电平与锯齿波信号产生PWM波，外部中断1用于对传感器的脉冲计数。定时器0用于对计数脉冲定时。测得的转速通过串口发送到上位机显示，通过PID模块调整转速到设定值。本实验采用M／T法测
速，它是同时测量检测时间和在此检测时间内霍尔传感器" title="霍尔传感器">霍尔传感器所产生的转速脉冲信号的个数来确定转速。由外部中断1对霍尔传感器脉冲计数，同时起动定时器0，当计数个数到预定值2 000后，关定时器0，可得到计2 000个脉冲的计数时间，由式计算出转速：
n=60f／K=60N／(KT) (1)
式中：n为直流电机的转速；K为霍尔传感器转盘上磁钢数；f为脉冲频率；N为脉冲个数；T为采样周期。
3 实验结果及原因分析
3．1 端电压平均值与转速关系
3．1．1 实验结果
实验用的是永磁稳速直流电机，型号是EG-530YD-2BH，额定转速2 000～4 000 r／min，额定电压12 V。电机在空载的情况下，测得的数据用Matlab做一次线性拟合，拟合的端电压平均值与转速关系曲线如图3(a)所示。相关系数R-square：0．952 1。拟合曲线方程为：
y=0．001 852x+0．296 3 (2)
由式(2)可知，端电压平均值与转速可近似为线性关系，根椐此关系式，在已测得的转速的情况下可以计算出当前电压。为了比较分析，同样用Matlab做二次线性拟合，拟合的端电压平均值与转速关系曲线如图3(b)所示。相关系数R-square：0．986 7。
3．1．2 原因分析
比较图3(a)可知，当转速在0～1 500 r／min和4 000～5 000 r／min，端电压平均值与转速间存在的非线性，用二次曲拟合如图3(b)所示，拟合相关系数较高。由图3(a)可见，当电机转速为0时电机两端电压平均值约为1．3 V。这是因为电机处于静止状态时，摩擦力为静摩擦力，静摩擦力是非线性的。随着外力的增加而增加，最大值发生在运动前的瞬间。电磁转矩为负载制动转矩和空载制动转矩之和，由于本系统不带负载，因此电磁转矩为空载制动转矩。空载制动转矩与转速之间此时是非线性的。电磁转矩与电流成正比，电流又与电压成正比，因
此此时电压与转速之间是非线性的。
当转速在2 000～4 000 r／min线性关系较好，占空比的微小改变带来的转速改变较大，因此具有较好的调速性能。这是因为随着运动速度的增加，摩擦力成线性的增加，此时的摩擦力为粘性摩擦力。粘性摩擦是线性的，与速度成正比，空载制动转矩与速度成正比，也即电磁转矩与电流成正比，电流又与电压成正比，因此此时电压与转速之间是线性的。当转速大于4 000 r／min。由于超出了额定转速所以线性度较差且调速性能较差。此时用二次曲线拟合结果较好，因为当电机高速旋转时，摩擦阻力" title="摩擦阻力">摩擦阻力小到可以忽略，此时主要受电机风阻型负荷的影响，当运动部件在气体或液体中运动时，其受到的摩擦阻力或摩擦阻力矩被称为风机型负荷。对同一物体，风阻系数一般为固定值。阻力大小与速度的平方成正比。即空载制动转矩与速度的平方成正比，也即电磁转矩与速度的平方成正比，电磁转矩与电流成正比，电流又与电压成正比，因此此时电压与转速之间是非线性的。
3．2 占空比与端电压平均值关系
3．2．1 实验结果
拟合占空比与端电压平均值关系曲线如图4所示。相关系数R-square：0．998 4。拟合曲线方程为：
如图4所示，占空比与端电压平均值满足抛物线方程。运用积分分离的PID算法改变电机端电压平均值，可以运用此关系式改变占空比，从而实现了PWM调速。
用示波器分别测出电压的顶端值Utop与底端值Ubase，端电压平均值Uarg满足关系式：
其中：α为占空比。
正是由于所测得的电机端电压底端值Ubase不为0，所以得出的占空比与端电压平均值之间关系曲线为抛物线。若将电机取下，直接测L298的out1与out2输出电压。所测得的电机端电压底端值Ubase约为0，所得的占空比与端电压平均值满足线性关系，即令式(4)中Ubase为0，式(4)变为：
3．2．2 原因分析
将电机取下后，直接测L298的输出端之间的电压，占空比与端电压平均值满足关系式(5)，说明整个硬件电路的设计以及软件编程的正确性。从电机反电势角度分析，当直流电机旋转时，电枢导体切割气隙磁场，在电枢绕组中产生感应电动势。由于感应电动势方向与电流的方向相反，感应电动势也即反电势。直流电机的等效模型如图5所示。图5(a)表示电机工作在电动机状态。图5(b)表示电机工作在发电机状态。
如图5(a)所示，电压平衡方程为：
式中：U为外加电压；Ia为电枢电流；Ra为电枢绕组电阻；2△Ub为一对电刷接触压降，一般取2△Ub为0．5～2 V；Ea为电枢绕组内的感应电动势。电机空载时，电枢电流可忽略不计，即电流Ia为0。空载时的磁场由主磁极的励磁磁动势单独作用产生。给电机外加12 V的额定电压，由(6)可得反电势：
以40％的占空比为例，电机端电压Uab是测量中的电压平均值Uarg，其值为8．34 V，测量中的电压底端值Ubase约为7 V。由式(7)可得Ea的值范围应在6．34～7．84 V。由图5(b)可见，此时Uab的值是测得的底端值Ubase即电机的电动势Ea为7 V。
当PWM工作在低电平状态，直流电机不会立刻停止，会继续旋转，电枢绕组切割气隙磁场，电机此时工作在发电机状态，产生感应电动势E。
式中：Ce为电机电动势常数；φ为每级磁通量。由于电机空载，所以图5(b)中无法形成回路。用单片机仿真软件Proteus可直观的看出在PWM为低电平状态，电机处于减速状态。低电平持续时间越长，电机减速量越大。正是由于在低电平期间，电机处于减速状态，由式(8)可知，Ce，φ均为不变量，转速n的变化引起E的改变。此时Uab的值等于E的值。电机在低电平期间不断的减速，由于PWM周期较短，本文中取
20 ms，电机在低电平期间转速还未减至0，PWM又变为高电平了。这样，就使测得的Ubase值不为0。以40％的占空比为例，当PWM工作在低电平状态，测得Ubase的值约为7 V。由式(8)可知，当正占空比越大，转速也就越大，同时减速时间越短，感应电势E的值越大。所以Ubase的值也就越大。
4 结语
重点分析了直流电机PWM调速过程中控制电压的非线性，对非线性的影响因素做了详细的分析。由于PWM在低电平期间电压的底端值不为0，导致了占空比与电机端电压平均值之间呈抛物线关系。因此，可用得出的抛物线关系式实现精确调速。本系统的非线性研究可为电机控制中非线性的进一步研究提供依据，在实际运用中，可用于移动机器人、飞行模拟机的精确控制。