关于乘法器(第一部分)[Leif博士的才智和学识— 7]
2011-04-27
作者：Barrie Gilbert
Niku一直将其全部精力投入到发展关键才能上——作为一名集成电路设计师获得持续成功的要素：想像、提议、筹划，然后从工程层面积极发展创新的概念。在这点上，Leif那种勇于对长期被忽视的事物提出想法的习惯极大地鼓舞了Niku。反对者一再宣扬它们在目前的市场上“没有价值”，但他还是会找到必需的资源去对它们进行开发
年轻的Niku从实践中也获得了这种对想象工程能力的执着禀赋，在Leif的简单提示下， Niku开始忙于设计用于神经形态系统 (neuromorphic system)的毫微功率模拟阵列处理器。她采用了成千上万个缓慢的、低精确度的，坦率地说，最基本的乘法器" title="乘法器">乘法器单元。令所有泼冷水者们 (最危险的一类人！)非常吃惊的是，自从1967年首颗单片集成电路在Tektronix(用作增益控制元件[1])由另一个满怀抱负的年轻想象工程师(Leif博士总是称他为“那个不安分的Tinkerer)。”创造出来，60年来，乘法器一直是不可或缺的。
1954年，当Tinkerer见到首批量产晶体管 (这些小玩意儿娇贵，并且各不相同 )之后，基于双极结型晶体管(BJT)的单元就成为他奋斗终生的对象。他于1972年加入ADI公司，并且，像Niku一样，他也喜欢自由主动的工作—专注而绝对思想自主地工作，主动且进取。这带来的结果就是：他提议并开发出了广泛的产品系列，这些产品被泛称为“功能”电路。“功能”电路是一个不明确的术语，就像“运算”放大器概念一样的不明确。
这些早期器件中的大多数都是乘法器，进入21世纪的头十年，这些器件仍在量产。他们开发出了电流型" title="电流型">电流型线性跨导" title="跨导">跨导(TL)回路[2,3,4]、电流镜 [5]，以及电流传送器(由Tinkerer在Tektronix就职期间构思并命名的)，由线性gm单元协助[6](图1)。另一个来自那个时代，并被广泛使用的创新单元后来被称为 “KERMIT”[7]，意思是共发射极多双曲正切，被用作一款2008年推出的产品的内核，该产品是射频向量乘法器ADL5390†(图2)，在DC ~ 2GHz乘法器 ADL5391的一个详细表格中，后者首次提供了精确对称的 X和Y输入端时间延迟。
图1：(a)一个线性跨导电流型乘法器可被看作两个电流镜像电路配合内部发射极，以及简单的数学运算。 (b)多双曲正切单元之一，偶极子，一个跨导乘法器。
现今已进入本世纪的中叶，仿神经智能1系统领域的专家们一致认为，模拟乘法器" title="模拟乘法器">模拟乘法器以及许多其他的非线性模拟功能在该领域仍是不可或缺的。但在本世纪的前25年，当实际的神经形态硬件获得突破之前，人们一度对此结论表示怀疑，这是可以理解的。现在，如果没有这些模拟器件和超级处理器，我们或许仍在利用一些非常低级、效率低下的方式实现那些系统功能。Michaday2及其系列产品就是受益于这种思想的明证。
社会大众从未意识到技术的剧变是如何发生，并改变我们生活的。例如现在，当我们与不同国家的人们进行交谈时，利用实时语言翻译成为一种很普通的现象，然而在过去并不是这样，那时，需要等待一种具有超强运算能力的超级处理器的出现，这种超级能力远超出20年前老式的连续比特处理器所具有的能力——这充分证明我们的社会已经发展到什么程度。
图2：用于ADL5390射频向量乘法器的一种KERMIT内核，称为SCAM——可控电流模拟乘法器。
2016年左右，随着摩尔定律的全面瓦解，在基于基础量子的预言出现的前20年，研究人员花费了相当长的时间才认识到，二进制计算机不是通往高级智能的途径，并且花费了比最初预期长得多的时间，在很高水平并具有很大实际意义地模仿了人类智能。在想象能力、兴趣、可视化以及独立这些问题被解决之前，关于这些高度并行的、连续时间非算法计算系统还有很多要学习的东西。至关重要的是，直到发展了旋转电子纤维 (peristrephic electrofiber)，数百万神经中枢互连才得以实现，仅仅几天时间，这种电子光纤就能增长到必要的长度，每一根光纤都到达各自的内部编码目的地。
由于今天的辅助设备 (如Michaday)中大量的非线性单元都已被深深地“植入”到设备结构中，因而即使专家也倾向于忽略掉所有模拟阵列乘法器和阵列标准化处理器件[10]的关键作用，而正是这些采用了Tinkerer称为“超级集成” (SuI)概念的器件使得设备架构如此丰富多样。例如，在他于1975年构思并制造出的SuI乘法器中，所有的部件和局部功能都被融合为一个整体，这使其无法提供原理图或生成一个网表。多年来，大量其他的SuI器件和技术得到发展[12,13,14]。老式的I2L即是其中之一。
2028年11月间，在GalaxyBux校园，我们碰巧听到Leif博士和Chen博士之间的一段非常有意义的讨论，是关于他们在神经计算机 (neurocomputer)模拟乘法器方面的工作。这是一个令Leif极为感兴趣的话题，相关的概念是由Tinkerer最先提出，并为Leif所用并 得到进一步的发展。Niku现在正就自己工作的一个成果为《模拟对话》写一篇关于乘法器的文章。下面的内容是对那次1小时讨论中最后20分钟的记录。
“呃，教授…” (她总是感到称她的导师为“Leif博士”很尴尬，可是她也不愿用他的名“Newton”，更少用‘Newt’，因此她决定称他“教授”，这个她第一次试过的称呼，令他那布满皱纹的斯堪的纳维亚人的脸上充满笑容 )，“我认为，我正在为《模拟对话》写的这篇文章，应该以回顾我们为神经形态系统开发的最新毫微功率乘法器系列的关键属性作为开始，包括结构图、主要系统规范、关键应用等这类内容。 ”
“嗯，啊…也许吧。你或许应该以一点历史背景开始，回朔到它们最早的应用[15]，以及诸如此类的基本问题：在20世纪30年代晚期到20世纪40年代中期的第二次世界大战期间，电子乘法器最初被用作什么？在20世纪即将结束的那几年，它们的价值和用途如何不同？在线性跨导技术出现之前，以什么方法实现乘法？然后给出一些ADI公司多年来开发的IC乘法器的例子，如开创性且具有多种用途的AD534，其具有创新的输出求和特性的 ‘Z’管脚，后来又出现在一款8引脚的器件AD633上(图3)。”
“当然，这类回顾一定要提到10MHzAD734，至今它仍是最精确的乘法器，它不同于那些采用数字模拟转换器(DAC)的过时而缓慢的乘法器[16]以及混合乘法器。还有一些早期的宽带乘法器，例如 AD834、AD835，等等。 ”
图3：Z输入是AD534的创新点，后来被用于大多数ADI的乘法器产品中，包括8引脚的AD633。
“哦，教授！…你不认为那样会在一篇文章中塞进太多东西吗？我意思是，这篇文章的目的不是要展示我们针对神经计算机开发的最新器件的价值吗？像毫微瓦模拟阵列处理器ADNm22577，次序统计滤波器ADNm22585，或者帧捕获相关器ADNm22587，所有这些都被用在Micha中。今天的读者会发现这些器件非常有用，而且容易理解它们的功能。我真的想尽快用上这些好素材！ ”
“那些当然是值得关注的。不过， Nicky，请记住20世纪晚期和21世纪早期的简单乘法器为你今天熟练的设计提供了基础。你不认为应该首先谈一点它们是如何工作的吗？这样给你说吧：我可以从陈年的资料库中搜出一些你可能仍然能够利用上的讲稿，总之，我们手边应该有些这些东西，它们是有用的。”
在Actablet触摸面板 /显示器(GalaxyBux学校每张桌子的玻璃桌面都是由这种显示器构成 )上作几个手势后，工作频率为35GHz的校园局域网就建立起透明连接，由像Michaday这样的神经形态系统 (neuromorph)的监管 (必要时可实现愈合功能 )，Leif很快找到了他以前的评注。他欣慰地发现历经多年后这些注释仍然有意义。“一切顺利！！那么，Mitch，把它们讲出来吧，”他对设备发出指令，设备遵照指示，通过Actablet连入一对永久植入的接听器，而 Leif评注的文字也在桌面屏幕上滚动显示出来。
实时求解方程式
“在神经形态学出现之前，”Michaday开始讲道，“在那些占据主导地位50年(从1960年到2010年)的二进制计算机之类的事物出现之前，回到第二次世界大战的时代，关键任务动态系统中的问题是利用带有模拟计算电路的建模技术解决的，电路的特定功能和连通性体现在积分微分方程中 (通常是非线性的 )。可以简单地让网络自主、异步地去解决它们—在某些情况下，交互式地。事实上，许多这样的问题只能由一些模拟器件解决。这解释了18和19世纪人们对机械的微分分析仪的迷恋 [17]，这些仪器能够聪明地实现求和 /积分、加法 /减法，等等。说句题外话，主要由于考虑到噪声因素，所以后来的电子计算机只是谨慎地采用不同的启动器…”
那是微分器，Micha，”Niku吃吃地笑着斥责道。
“抱歉。 ”Michaday继续讲，“这个方程式的结构决定了实际的物理连接，这通常是在一个接线板上实现的，就像当时的人工电话交换机。一部分固定系数由R-C时间常数确定，一部分被作为权重因数，因为增益和衰减有时使用电位计计量。这个方程式也计算变量的乘积 (有时也计算商 )，所有这些都是通过相当高的电压表现出来…高压？！哦…对我来说那不是真的，是吧？”Michaday颤抖着，它回想起在被安装就位的时候，曾经被功率单元的火花所惊吓，那是由一个粗心大意的技术人员引起的。
“行啦…你那种情况并非如此可怕， Mitch，”Leif调侃道，“其实只有大约25毫伏，你使用了电压型和电流型表达式，无论哪一个功能级都是适当的 [19]。顺便说一句，在这点上，我们人类的神经电路恰好相同。好了，现在请继续，不要再随意打断话头！ ”
Niku掩嘴而笑。
“一些名义上的固定系数可能有必要被更改，随着解决方案的精度改进，可利用电位计调节系数乘法器中的电压，其满量程大约100伏，”Michaday停顿了一下。“还要我继续讲吗？ ”
“是的，Mitch，至少再多讲几段。 ”
“与通常的说法相反，模拟计算机从未消逝，它们只是在暗中发展。所有的单片模拟 IC(不仅仅是乘法器 )从1965年以来都在不断向前发展，继承了那些强大的早期技术的基因。“运算”这个词被应用于放大器，就表明这个器件是被设计用于执行数学运算功能，例如积分或信号求和，利用相当高的开环增益、适度的低输入偏置，以及相对宽的带宽特性，尽可能确保这个功能只是外部元件的一个结果。 ”
“第一代真空管运放[18]被大量地使用。今天，无数像病毒大小的这类元件正做着更多同样的事情—更高的精确度、速度以及效率。然而，将两个变量相乘曾经是个挑战，由于该功能的基本特性，这需要更多的线性运放和外部网络。以现代标准衡量，那时设计的很多方案都拙劣得可笑，几乎不能完成任务。例如……”“好了，Micha，”Niku插话道，“暂停一下。教授，在我看来，下面的内容对这些用于近似乘法的方法描述中，他们的设计师认为 1%的精度和几千赫兹的带宽就非常出色了。我们已经取得很大的进展！一些用于实现乘法的技术简直令人难以置信。它们与后来被普遍应用于乘法运算的线性跨导原理形成鲜明对比。后者是如此的简单明了而且精妙，甚至本身就易于理解。 ”
“嗨！或许那是因为我影响了你吧！但请牢记，首先，可靠的硅平面型晶体管，由于其固有的对数－指数特性，在未来还将风行几十年。而且，甚至上世纪的线性跨导乘法器也有致命缺陷：在它们的X和Y输入信号的时域响应方面是不对称的，而且在这两个信号路径的线性度方面也是如此。这就给一些竞争者的乘法器产品留下了一个问题。一定要在你的《模拟对话》文章中解释为什么时间对称性和信号线性度很重要。而且，不要到文章最后才提及运算象限的问题。 ”
“我不会的。顺便问一句，您能告诉我那些用于乘法器输入端口的标记，X和Y，来自哪里吗？ ”
“抱歉，我真的不知道它们什么时候开始变成了约定俗成。当然，它们一般被用于表示一个面的两个轴。也许那是George Philbrick[20]的选择。但我确信是Tinkerer在ADI公司引入了今天的命名法则，用于与现代乘法器 -除法器相关的其他变量。我认为AD534大概是在那时被开发出来的，它是首款专为完全校准而设计的模拟乘法器，采用晶圆级激光微调技术。 ”他用了这些符号
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“分母电压VU被固定为 10V，采用掩埋式齐纳 (buried Zener)技术3。将另一个信号VZ加到 XY乘积是他的另一个创新。这是一个相当好的例子，它说明了实用的创新源于从用户的角度思考。想象一下，把你自己放在一款新IC产品的几个假想用户的立场上，不断地询问：‘在如此这般的复杂情况下，我自己想要这个产品做什么？ ’这里，VZ输入的主要用途是把另一个变量加到这个乘积上—例如一个或多个乘法器的输出。我期待你的文章将会解释在构建一个乘法器作为除法器时，它所体现的价值以及其它作用。 ”
Niku热切地说：“是的，当然！我现在还记得这个巧妙的特性存在于几乎所有Tinkerer设计的乘法器中。这种特性也使得可以通过菊花链将下一个VZ接到前一个VW ….来实现几个信号的简单求和。但是，宽频带的AD834有点不一样，不是吗？我想起来，它有一个差分电流模式输出。但是，在一个模拟相关器中，这些很容易被求和，就像我最近在ADNm22587中所做的，直接采用并行输出连接。不过，VZ终端的作用远不止这些基本用途。 ”
“是的，”Leif表示赞同，“记得这个例子吗？通用乘法器常用于对信号幅度进行乘方。 X和Y端口接收到相同的信号VIN，输出设为VW = VIN2/VU。然后，在正弦信号输入的特殊情况下，输出信号是一个上升的余弦，频率加倍。 ”
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“在一篇1976年的文章中，列举了AD534的众多应用 [21]，对于单频率，Tinkerer采用一种巧妙的方法避免了输出端的直流偏置，没有对输出信号进行交流耦合。他只利用一个CR网络ω0 =1/CR，而且两个输入信号带有± 45°相移，在ω0处，每个信号衰减 ∙2/2。它们的90°相对相移为ω0处的输入信号消除了输出偏置。 (见图 4)
图4：采用 8管脚 AD633的倍频器。这里，f0 = 1 kHz.
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“这里VZ输入信号提供了另一个有用功能—不是增加另外的信号到输出信号，而是通过一个因子4来提升增益，通过将VW的1/4馈给 Z管脚，从而对一个± 10V的正弦输入信号实现了± 10V的满摆幅输出。利用AD633也能实现这种概念，即使其 8管脚封装形式使‘ Z’功能仅限于一个管脚 (图4)。比率 RF2/(RF2 + RF1)决定了反馈系数。当然，频率不用必须低至1Hz，也不必正好是1/2πCR，而且还有很多事情可做以减小输出信号振幅的变化。你可以在你的文章中提及这些。”
“嗯，看来我将不得不在我的文章中谈到相当多关于这些老器件以及它们的应用。顺便说一句，我也读过Tinkerer的文章，那是很棒的资源。不过，或许今天很难找到。我发现利用标准的关系式，w = xy + z，这里w = VW/VU，x = VX/VU，等等，就能简单地得到新颖的函数。不断地用分母去除变量很是无趣，当你只是用一个Ziptip和一块画板来通过这种方式想获得创造性的结果时，那是非常浪费时间的过程。 ”
“没错，Nicky，w = xy + z能激发思维的潜能。但是，在关于一个非线性电路中建立和保留比例参数的重要性方面，请不要自以为是。作为一名设计师，无论何时，当一个标量，例如 VU，出现在你的目标函数中时，你必须确信你绝对能保证完全掌控它的初始值及其受环境影响的稳定性。 ”
“我当然明白那是我们IC设计人员最担心的事情，”Niku回答道，“但是对于产品的用户来说相关性就小一些。可以再回到先前的话题吗？所有今天的乘法器都工作在四个象限。VW是VX和VY真正的代数乘积，两者中的任何一方都可能是正或负。但是你提到的所有那些早期的IC乘法器并非如此，是吧？”
“没错，它们不是。例如，我们的AD538就是单象限乘法器：在其X和Y端口，它只接受单极输入信号。但是这类器件主要的魅力在于，在直流和低频情况下，它们通常更加精确。此外，独一无二的AD538还具有几个其它的特性，包括多级十进位运算，去掉BJT的宽范围对数 -指数特性，还能产生输入信号的整数及小数幂和根，以及各种各样不常见的非线性函数。 ”(图5是Leif可能想到的一个例子 )
“那么…二象限乘法器如何呢？ ”Niku问道。
“AD538能被连接成那种样式。但是，今天二象限乘法器更有可能被认为是可变增益放大器 (VGA)，它们的 Y通道具有低噪声、非常低的失真，以及宽带宽，以前的X-通道被用于控制信号路径的增益4。仅有少数为增益控制而优化的乘法器获得了发展，主要在20世纪70年代中期。70 MHz AD539就是这样一款器件，该器件具有一对紧密匹配的信号路径，适用于同相/正交(I/Q)信号处理。 ”
图5：利用AD538产生反正切函数
那么...VGA不只是模拟乘法器
“教授，你曾提到，IC设计师比用户更先认识到在VGA中，增益控制函数最好是以dB为线性的——也就是指数的，而非幅值线性。”
“对。在某种意义上，经过优化的VGA实际就是乘法器，但是它们能更有效地实现了下面的函数。 ”
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“A0 只是当 x =0时的增益。还记得 x = VX/VU吧，但是现在VU代表不同的东西—尽管它仍然是非常重要的参考电压。如果我们将增益作为 x的函数，则有
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重复使用变量x ，增益增加的分贝数与VX成正比，斜率 (可能增加或减少 )取决于 VU。”
Niku说道，“我想起Tinkerer给他新颖的 VGA拓扑 (图6)命名为 X-AMP ®，强调 ‘X’并不意味‘经验的’或‘不可思议的’，而是指增益控制函数的幂。他和他的团队留下了丰富的 X-AMP器件遗产，从AD60x系列开始，接下来是AD833x，以及改良的ADL5330。其它的器件，诸如AD836x系列，X-AMP架构被内置到DC~GHz均方根值响应测量函数中，这些函数对于微波、射频收发器和解调器具有真实的功率响应。 ”
图6：基本的X-AMP结构 ——一种指数乘法器
“确实。其他的ADI团队也采纳了X-AMP理念，在8通道的AD9271 X-AMP器件中，包括8个独立的ADC，适用于医疗和工业超声应用。起初，它被认作是最尖端的模拟VLSI，并且荣获2008年度产品奖。的确，这些都基于专门打造的模拟乘法器内核。不过，在那些过时的陈旧的话题失去市场时，我们就应该称之为可变增益放大器。”Leif开玩笑地说道。
“事实上， ”他继续说道，“一些电压控制VGA利用一种不同于X-AMP概念的拓扑，重回到线性跨导乘法器的根源。从用户的角度来看，其功能就是指数放大器，而实际上在内部采用了熟悉的电流模式增益单元，由复杂而精确的增益dB线性电路放大。 ”
“可选方案的一个绝佳例子是AD8330。其内核仅由 4晶体管线性跨导乘法器组成，就像这个，
”Leif指着Actablet上的一个电路，该电路的原理图如图7所示。“这个关键概念是，输入晶体管对 (Q1/Q2)的电流比率迫使输出晶体管对 (Q3/Q4)产生同样的电流比率。但是尾电流， ID和IN通常很不同。输入电流 IIN (VIN除以输入电阻 R1)乘以比率 IN/ID，得到一个线性放大的电流输出。用 RO和增益 (IN/ID)(RO/R1)可将这个结果变换回电压模式。这种结构的最大吸引力在于，由于尾电流ID减小，当增益增加时，输入对的散粒噪声下降。 ”
图7：AD8330的本质：乘法器，还是VGA？
“使得AD8330如此不同的是，IA被定为初级 (输入相关的 )增益控制电压 VdBS的热稳定指数函数，增益范围至少为50 dB。另一方面， IB与次级 (输出相关的 )增益控制电压 VLIN成正比。‘dB线性’ VGA和‘乘法器类’增益控制的这种独特融合，有效实现了Tinkerer提到的 ‘IVGA’和‘OVGA’的结合。‘IVGA’是为应对在其信号输入端较大的动态范围而优化的一种VGA，‘OVGA’则是为提供一个宽可变输出幅度而优化的VGA。如果输出信号的增益范围与输入信号的50 dB增益范围结合使用，那么在单一电压控制下，可实现一个空前的、连续的、大于115dB的增益范围。
“但是Tinkerer并没有就此停止。他解决了VGA最致命的问题之一，即高频响应总是增益的一个强势函数。在高增益设置下，它通常是以一种平滑的方式滚降。但是对于低增益，那时的大多数VGA最终展示出强烈上扬的高频(HF)响应。在超出特定带宽的某些高频下，许多竞争产品中的这个问题都很严重，实际的增益根本不取决于控制电压！ ”
Niku说：“是的，我记得我曾对实验室的一大堆旧样品做过测试，并注意到这种结果。我也查了数据手册称AD8330完全没有这种问题。”Niku用Actablet找到了她早先的工作，她发现了图8。“哈哈，这正是我要找的，左边的面板显示某个器件的高频响应。我可以提及这个器件的制造商名字吗？ ”
图8. (a)一个未知VGA的频率响应与(b) AD8330在其115dB满增益范围上的响应作比较。
“最好不要，” Leif笑着说，“尽管它们和许多其他的标准模拟IC在21世纪初期就不景气了。”
“好的。右边是AD8830的频响。我惊讶于所有样品都如此接近数据手册中的性能。我常常感到奇怪，为何经过这么久这个器件才受欢迎起来呢？它是一个出色的小VGA，具有优秀的全面规格以及丰富的多功能性，隐藏了许多精妙的设计——一点也不像那些用在Michaday并行阵列处理器和相关器中的简单重复单元……”
Niku故意揶揄Michaday——为了可能在将来使用，它仍在远远地密切注意这个信息流。不过，Niku和Leif都没有注意到Michaday那张“骇客帝国”般面部的表情。虽然与它的功能不相关，这个特性还处于运作中，给ADI公司Solna园区中的那些Michael Faraday礼堂的参观者提供消遣。如果一个神经形态系统‘绷着脸’，这将能很恰当地描述其面容。但是由于技术上的疏漏，尽管他 (或‘她’—除了男性名字，可以是另一个，或者两者都不是 )能清楚地看到Leif和Niku，但是他的面部表情不能以下行链路数据复制到任何远端的Actablet上。今天，神经形态系统解读人类表情的能力很强了 [23]。起初，只能完成最基本的模式识别任务 (例如，“这是一张脸，还是一个热狗？ ”)。不过，Neuromorphics公司的设备要灵敏得多，能够辨别最细微的面部差别。此时此刻，Michaday对Niku揶揄的笑容非常不满。
“打扰一下……今天你们还需要其他的服务吗？我很忙， ”它在他们的耳机中抱怨道。
Leif说，“好吧，Mich，既然你想回到讨论中，在这我要提一下，你们的乘法器实际上并不普通，因为它们与我们所讨论的器件截然不同。它们采用仅仅数毫伏的满刻度值，用于描述电压类状态变量，以及仅数毫微安培 (nanoamp)用于描述电流类状态变量。之所以采用如此低量级的表示法可能是因为你们的超级处理器大量的并行特性、你的互连距离，以及对大量冗余功率的彻底改善。 ”
因为这个术语‘神经形态’意味着，Mich，像你们这样的辅助设备模仿人类系统，包括对并发 (Concurrency)与并行特性 (Parallelism)的依赖。但是，可能还不为人所知的是，你们的状态变量在数量上几乎与有机体的神经元相同。一个有趣的事实是……
神经元是…线性跨导
说到这儿，Leif犹豫了一下，他在权衡是提及神经系统行为这个绝对引人的话题更为迫切呢，还是完全脱离‘乘法器’这个主线条，而后者已经没有什么可谈的了。但是想到，迟早有关双极结型晶体管VBE的关键话题会在Niku的文章中出现，为了从基本原理的角度解释线性跨导概念，他还是作出这个欠考虑的决定。
“Niku，你不必在你的文章中谈及这个。有一个Nernst定律 [22]，它的一个重要应用是量化扩散在神经元细胞膜的电流，在生物系统中，这个关键元素随处可见。这种关系通常用化学中的变量表述，而不是电子学的。因此，我不得不作些考虑。首先，是它的缩放维度，但是我的研究结果是令人满意的。 ”(图9)
“我发现，在稀水溶液的化学反应中，比如说，氯化钠NaCl，带正电荷的Na+离子可被粗略看作同等于一个晶体管基底的空穴，电子更类似于单电离的 Na–。当然，这些是原子，但是在神经元中，它们是电荷载体，就像空穴和电子，随浓度梯度扩散。 ”
图9：神经元类似于两个半导体层之间的结，这两个半导体层(N1和 N2)具有相同的极性类型，但是掺杂浓度不同。
“现在，问题出现了，对于集中在神经元细胞膜两侧的给定电荷，当电子穿过细胞膜建立起平衡之后，这个障碍物的电压会是多少呢？在认识到这个事实——化学中的一个不明显的调节量 RT/Fzs正是我们的‘老朋友’ kT/q—之后，答案令人惊讶：
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“这里的NaO和NaI分别代表神经元外侧和内侧的钠离子浓度。在这方面，神经元的行为非常像BJT的∆VBE。它甚至表现出一个斜率，粗略等同于晶体管的跨导！不只是像老式CMOS晶体管的模糊跨导，而是像现代BJT的跨导：与浓度梯度成线性关系，是电流！这样说来，把神经元看作线性跨导元件算是在标榜它们吗？ ”
“它们的根本物理原理是相同的：都涉及类似的扩散和迁移过程；都遵循Fick方程并援引爱因斯坦关系，这些都是半导体专家所熟悉的。既然神经元在这方面的行为与半导体器件如此接近，就不应奇怪这种相同的关系一再被用于Michaday的神经形态判定元素，还有在你近来的IC器件中。考虑一下这个：在图9的细胞中，如果离子的比率是10，神经元细胞膜的电压则达到61.5 mV!”
59.525 mV的电压吗？根据 Tinkerer的法则 [24]，这与绝对温度成比例 (PTAT)?”
“Nicky，我从不想叫你‘急性子’…但是你的头脑过热了。kT/q的值25.85 mV是假定在300 K(接近27°C)温度时的情况。在我们体内， kT/q是(310/300) × 25.85 mV，因此离子比率为10时，人类的神经元电压是61.51 mV。”
“当然，对神经元可能还有更好的比喻，比如说，工作在阈值下的多栅MOS晶体管？我的意思是，基于它的线性跨导特性，神经元具有线性乘法的特性。但是，如果它也执行诸如积分，甚至采用带有任意额外开销的递归、信号求和—所有这些函数都是模拟计算机中求解方程的核心所在。在与你共事了几个月之后，现在我清楚地明白，为什么你总是强调基本原理。牢固掌握所有的基本原理，并注意到各学科之间的关联确实至关重要。 ”
顺便说一句，教授，我已经在做一点我自己的研究…嗯，在Micha的帮助下…” (这是一句感激的话吗？ )“而且，我发现早在1988年，也就是40年前，Tinkerer就预见到线性跨导元件与神经系统硬件的相关性。在圣地亚哥举办的第一届神经系统硬件 [25]论坛期间，他的演讲就预言了今天的毫微瓦处理器，线性跨导概念的作用，以及有关 BJT中关键电压电流关系的惊人相似的方程，它是同样的线性跨导理论的坚固基础。Micha刚才为我找到了他在1990年的一篇短文，在文中他说，正如 BJT的发射极 -基极间的载流子注入受到带能量中量子波动的影响，因而产生散粒噪声 5，同样神经元也会受到影响。他说，幸运的是，神经元并非完全确定性的，否则我们都将是些非常迟钝的人。 ”
“我也通过学习了解到，在任何神经元簇中都有多个反馈通道，就像运放电路中的一样。而且，其中许多也是非线性的。这似乎是在神经元中产生那些类混乱行为的沃土，这些神经元是半确定性的，是它们导致形成初始的想法。Tinkerer主张，人类的创造性实际上依赖于中等数量的随机噪声—这种理念有助于解释那些顿悟的闪现所具有的短暂的、不可预知的质量。果真如此么！？ ”
“好了，Niku，”Leif说道，“我们之间的讨论已经远远偏离模拟乘法器的话题了！下午三点我与总监有约，时间快到了。我们就聊到这里吧，你可以回到实验室写你的下一篇《模拟对话》文章了。加油，我真的很期待看到它！ ”
Leif和Niku从仍然发着亮光的Actablet起身并向门走去。永不疲倦的GalaxyBux AutoGreeter(自动问候机 )打开门，并以一种欢快的语气说道：“很高兴为您服务！”他们交换了一个微笑的眼神。“瞧瞧，仿神经科学技术已经让我们无处藏身了！”Leif调侃道。问候机或许没有 “耳朵” (他们猜测，因为这对于问候机来说似乎是多余的 )，总之在Leif这句话后Greeter没有再多说话…… (未完待续 )
注释：
[1] Gilbert, B,“A DC-500MHz Amplifier/Multiplier Principle”，ISSCC Technical Digest杂志。1968年2月出版，第114至115页。这是首次发表的电路解析类文章，探讨了后来人们称为“线性跨导原理”的话题。[3]
[2] Gilbert, B,“A Precise Four-Quadrant Multiplier with Subnanosecond Response”， IEEE Jour。Solid State Circuits，第四期，SC-3卷，第365至373页。
[3] Gilbert, B，“Translinear Circuits: A Proposed Classification.” Electron Lett杂志，第一期，第11卷，第14至16页，1975年一月出版。
[4] Gilbert, B，“Translinear Circuits: An Historical Overview.”Analog Integrated Circuits and Signal Processing杂志第9-2期，1996年三月出版，第95至118页。
[5] Toumazou, C、G. Moschytz、B. Gilbert和G. Kathiresan。Trade-Offs in Analog Circuit Design, The Designer’s Companion, 第二部分，Springer US杂志，2002年出版。ISBN 978-1-4020-7037-2。
[6] Gilbert, B，“The Multi-tanh Principle: A Tutorial Overview.”IEEE Jour杂志Solid-State Circuits, 第33-1期，1998年出版，第2至17页。
[7] KERMIT，即“共发射极多双曲正切”，是一种非常通用的单元形式，其中N > 2个发射极(或源极)。早期的表现例如矢量扫描器，在Gilbert, B的论文“Monolithic Analog Read-Only Memory for Character Generation”中有提及，这篇文章刊登在1971年IEEE Jour杂志Solid-State Circuits 第一期，第SC-6卷，第45至55页。
[8] Blackmore, Susan. The Meme Machine.牛津大学出版社1999年出版，刊号ISBN 0-19-286212-X。对模因增长给出了非常好的介绍
[9] Powell, J. R。“The Quantum Limit to Moore’s Law.”Proc.IEEE杂志，第8期，第96卷，2008年8月出版，第1247至1248页。
[10] Gilbert, B.“The Quantum Limit to Moore’s Law.”IEEE Jour杂志 Solid-State Circuits,第19-6期，1984年12月出版，第956–63页。
[11] Gilbert, B.“A New Technique for Analog Multiplication.”IEEE Jour杂志《固体电路》第10-6期，1975年12月出版，第437至447页。
[12] Gilbert, B.“A Super-Integrated 4-Decade Counter with Buffer Memory and D/A Output Converters.” ISSCC Tech. Digest杂志，1970年出版，第120至121页。
[13] Wiedmann，S. K. “High-Density Static Bipolar Memory.”ISSCC Tech. Digest杂志，1973年出版，第56至57页。
[14] Gilbert, B.“High-Density Static Bipolar Memory.”，Electronics Letters杂志，第31期，第12卷，1976年11月出版，第608至611页。
[15] Paynter, H. M., ed. A Palimpsest on the Electronic Ar (过去若干年内一些为广受欢迎的文章或其它著述的整理再印)，1955年出版，波士顿George A. Philbrick Researches公司。精彩、权威，并与当今时代紧密相关。尽管离上次印刷出版时间很久了，但仍然值得在eBay上列出。
[16] Korn, G.A.，和T.M. Korn. Electronic Analog Computers.纽约：McGraw Hill Book公司，1952出版。
[17] F要了解更久远的过去，请浏览：http://everything2.com/e2node/Differential%2520analyzer 要了解基于Meccano建立的有趣且有意义的差别分析方法，请浏览：www.dalefield.com/nzfmm/magazine/Differential_Analyser.html。
[18] Gilbert, B.“Current Mode, Voltage Mode, or Free Mode? A Few Sage Suggestions.” Analog Integrated Circuits and Signal Processing杂志，第2-3期，第38卷，2004年2月，第83至101页。
[19] 以下链接中你可以读到一篇由G.A. Philbrick撰写的早期论文“Analog Computors”的部分内容：http://www.philbrickarchive.org/dc032_philbrick_history.html。
[20] X、Y、Z和W都被用于定义Philbrick SK5-M四象限乘法器，而不是利用W = XY/U + Z，参见www.philbrickarchive.org/sk5-m.htm。顺便提一句，这个大家伙需要200瓦的功率来驱动。
[21] Gilbert, B.“New Analogue Multiplier Opens Way to PowerfulFunction Synthesis.” Microelectronics杂志，第一期，第8卷，第26至36页，1976年出版。或许今天很难再找到这本杂志，值得庆幸的是Niku在他的文章第二部分中有摘录。
[22] Aityan, S.K.与C. Gudipalley.“Image Understanding with Intelligent Neural Networks.”全球神经网络大会，美国波特兰市，1993年7月，第1卷，第518至523页。这是一个里程碑式的事件。在这个共5卷的论文资源库中，对于那些对上世纪 90年代早期的神经电子学感兴趣的人士来说，其它的论文也是不错的资料。
[23] Partridge, Lloyd D和L. Donald。The Nervous System，麻省理工学院出版社1992年出版，刊号ISBN 0-262-16134-6。这是一本不错的著作，为电子工程师对神经元功能与设计做出了非常好的介绍。附录I从弱性溶液的离子扩散起始点得出了Nernst法则。
[24] 缩写“PTAT”最初是用在Gilbert, B撰写的一篇论文的B部分(第854页)，这篇论文标题是“A Versatile Monolithic Voltageto-Frequency Converter.”在Jour杂志的Solid-State Circuits 第6期第11卷的852至864页中刊登，1976年12月出版。
[25] Gilbert, B.“Nanopower Nonlinear Circuits Based on The Translinear Principle.”此论文在一个关于Hardware Implementation of Neuron Nets and Synapses的研讨会论文集中发布，这是关于神经系统硬件的第一个研讨会，于1988年1月在美国圣地亚哥召开。该论文位于论文集的第135至170页。
[26] Coming Next Week! The Elements of Innovention.，这是随笔文章杂烩的早期形式，关注创造性的根源问题，在上世纪90年代中期在未经作者许可下被公布于互联网。请发邮件到barrie.gilbert@analog.com索取最新版本。
作者
Barrie Gilbert (barrie.gilbert@analog.com)ADI公司的第一位院士(ADI Fellow)，他将“毕生精力都投入到对模拟技术真谛的追求之中”。他于1972年加入ADI公司，1979年被授予ADI院士称谓，负责管理位于俄勒冈州比弗顿市的西北实验室(Northwest Labs)。1937年，Barrie出生在英格兰的伯恩茅斯。在加入ADI公司之前，他于1954年在SRDE和Mullard公司从事第一代晶体管方面的工作。后来又供职于泰克(Tektronix)公司和Plessey研究实验室。Barrie是IEEE院士 (1984)，并获得许多奖项，他拥有大约50项专利，发表过大约40篇论文，曾与人合著出版多本著作，而且是多家期刊的审稿人。1997年，他被授予俄勒冈州立大学的荣誉工程(学)博士学位。