引言

随着半导体技术不断发展，集成电路的可靠性会受到工艺偏差的严重影响，尤其对于存储器（例如静态随机存取存储器，SRAM）而言更是如此。SRAM由数百万个重复的存储单元组成，由于每个存储单元尺寸极小，因此更容易受到工艺偏差的影响[1]。为了确保芯片量产前的良率达到预期水平，每个SRAM存储单元的失效率必须极低（10⁻⁸～10⁻⁵）。

对于这些发生概率极小的失效“事件”的分析，解析方法不再有效。而标准蒙特卡洛（Monte Carlo, MC）仿真通常被视为“黄金”标准，该方法直接对整个参数空间进行采样，并对每个样本进行仿真评估。定义为一个由个相互独立的标准化正态随机变量组成的向量，这些随机变量表征各个工艺参数。是的概率密度函数。设表示电路性能，比如反相器链的延迟，或者SRAM的读访问时间，写时间等。

对于集成电路的失效率评估，令表示失效区域。通常情况下，非常小。为了判断是否符合标准，本文引入指示函数：

      （1）

即当时，表示，该样本落在失效区域内，为失效样本。有了这个指标函数，相应的电路失效率可以按如下方式计算：

      （2）

然而式（2）很难直接计算出来，因为无法知道具体的解析形式。为了求解式(2)，最经典的方法就是通过MC仿真进行近似，如式(3)所示：

      （3）

然而对于可靠性要求比较高的电路来说，失效率要求极低，MC方法需要数以千万记的仿真次数才能“捕捉”到一个失效点，而每次仿真都需要调用晶体管级别的仿真器（比如SPICE仿真器），这会产生极大的时间开销，使设计者难以接受。随着工艺参数的增加，输入参数维度大幅度提高，电路仿真器（例如SPICE）的仿真速度极慢，整体累积分析时间无法令人接受。

为了加快MC的分析速度，相关研究[2-12]致力于开发快速统计分析方法。通常通过两种方式来加速MC：减少仿真次数和降低每次模拟的计算成本。重要性采样（Importance Sampling, IS）[2-7]是常用的减少仿真次数的方法。IS的基本思想是寻找一个偏离标准分布的采样分布，从而在失效区域附近集中采样，对采样后的样本进行权重补偿以获得和MC一致的结果。IS方法在输入参数维度较低，即工艺参数数量较小的电路方面中表现良好。然而，IS最大的缺点是，在高维参数下，其分析结果出现了极大的数值不稳定性[8]，导致失效率分析估计结果不可信。基于替代模型的算法[9-12]通过直接建立输入参数与电路性能的映射关系以替代黑盒式的仿真器，使得原本需要数分钟甚至数小时的仿真评估能够在微秒级完成，从而使大规模MC分析成为可能。定义为替代模型对电路性能的预测值。则式（3）可以表示为：

      （4）

文献[9]、文献[10]分别使用高斯过程和径向基函数网络，在低维场景中表现出较高的精度。文献[11]、文献[12]通过叠加单变量的基本函数来构建高维非线性替代模型。基于替代模型的评估速度极快，即使评估数百万个样本，计算时间也几乎可以忽略不计。然而，基于替代模型的失效率评估对靠近失效边界区域的精度非常敏感，因此，训练一个高精度的替代模型往往需要大量的样本数据。

本文采用替代模型的方式实现快速失效分析。但与之前的工作不同，由于输入参数维度极高，且训练样本极少，属于小样本高维度的训练场景，因此本文并不直接建立工艺参数与电路性能的映射关系。本文首先按电路节点对工艺参数进行切片，对各个切片使用子模型进行局部拟合，各个子模型的输出结果实际上表征了各个切片对电路的影响，然后将子模型的输出作为全局模型的输入，构建全局模型，用于评估每个样本对应的电路性能。除此之外，为了减缓替代模型对于失效边界准确度的要求，本文对替代模型的预测结果进行筛选，并对筛选出可能失效的样本进行重仿真。为了确定合适的重仿真范围，本文定义最大排序指标，通过对模型在测试集上的预测结果进行排序，找到能够覆盖所需失效样本数目的最大索引，该索引即为重仿真的理论范围。

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作者信息：

武杰，皎文毓，冯琰楠

（中国科学技术大学 近代物理系，安徽 合肥230026）