随着科学技术的发展，产品的质量在不断提高，一些产品已呈现出无故障寿命，特别是在电子行业，环境应力屏蔽的广泛使用，使电子产品出现了较长的无故障寿命。此时，那些不考虑无故障寿命而分析产品寿命分布数据的模型(如Nelson模型^[1])就不再适用了。本文采用线性累积模型对具有无故障寿命的产品的步进应力加速寿命试验数据进行了分析，取得了比较好的效果。
1 提出问题
　　为了解某型号电缆的绝缘性能，对其绝缘寿命进行了定时截尾步进应力加速寿命试验。表1是试验时各阶段的应力水平S_i，表2是部分试验数据。

　　各个应力水平下电缆绝缘寿命服从威布尔分布，其可靠度函数为：
　　
　　其中，i＝1,2,...,N(N为应力水平数)；γ_i、η_i分别为位置参数和尺度参数，均与应力水平有关；β为形状参数，反映失效机理^[2]。本试验的前提是失效机理不发生变化，因而β是一个常量。那么，怎样根据表中所给的数据来估计这些参数呢？
2 分析问题
2.1线性累积模型
　　从总体中抽取一个样本，在应力水平S_i下产品有一个确定但未知的寿命t(i,R)，t(i,R)可解释为S_i下产品寿命分布的1－R分位数。线性累积模型需要作如下的假设：
　　假设I 样品在应力S_i下保存时间△t_i，该应力水平下样品的疲劳效应为△t_i/t(i,R)；
　　假设II 任意一样品其疲劳效应是线性累积的，即：单个产品在应力S_k下保存△t_k时间，k＝1,2,...,i,其累积疲劳效应为：
　　

　　假设III 剩余产品在某应力下的等效起始时间只与其先前的累积疲劳效应有关，而与累积方式无关。于是有：
　　
　　其中τ_i为折算到应力水平S_i＋1下的时间，即S_i＋1下的起始时间。
　　由假设III可知，对于线性累积模型有：
　　
　　由(3)式可推出样品在对应于△t_k(k＝1,2,...,i)的应力水平下的等效累积工作时间为：
　　
　　由(4)式可以得出在应力水平S_i下的等效工作时间。在失效机理保持不变的情况下，步进应力方案的试验数据可转化为任意给定应力水平下的等效工作时间,其值为：
　　
　　当i＝4时，(5)式可用图1来描述。

2.2 非参数估计
　　假定随机样本量为n，所有样品有相同的起始应力和应力递增量，除了失效时所对应的应力外，样品在相同应力水平下的保存时间相同。试验过程中出现r个产品失效，r_c个右截尾数据，剩余n－r－r_c个样品在起始点和右截尾时刻之间的任意时刻截尾。对于r个失效产品，在应力水平S_i下的保存时间△t_i,j，有j＝1,2,...,r，i＝1,2,...,Nj(Nj为产品失效时所经历的应力水平数)。对于r_c个右截尾样品，在应力水平S_i下的保存时间△t_i,j，有j＝r＋1,r＋2,...,r＋r_c，i＝1,2,...,N_C(N_C为产品从零点到右截尾时所经历的应力水平数)。对所有的j，有N_C≥Nj。
　　由(4)式，失效样品j在N_j个应力水平下的总工作时间折算到S_Nj下的等效工作时间为：
　　
　　同理，未失效样品j在Nc个应力水平下的总工作时间折算到S_Nc下的等效工作时间为：
　　
　　对r＋r_c个样品，从Nelson－Altshuler^[3]方法中可以得出R_j的估计值为：
　　
　　其中,F(·)为累积分布函数；θ为待估参数。
　　根据极大似然估计原理及似然函数
　　
　　可得到θ的估计值。
3 解决问题
　　很多试验数据都表明(1)式中γ_i和η_i随着应力水平的增大而减小，工程应用中常采用以下的关系式来描述γ_i和η_i与应力水平S_i之间的关系^[4]：
　　
　　其中，a、b、c、d均为常数。
　　由(1)、(11)、(12)式可得t(i,R_j)及累积分布函数的表达式分别为：
　　
　　结合表1、表2中的数据，由(6)、(7)、(8)、(10)、(13)、(14)式可得出a、b、c、d的极大似然估计值(见表3)。