摘  要： 非下采样剪切波（nonsubsampled Shearlet）是一种优秀的多尺度几何分析工具，其不仅可以检测到所有奇异点，而且能够自适应跟踪奇异曲线方向。基于非下采样剪切波，提出了一种使用带有一致性的临近支持向量机（a Proximal Classifier with Consistency，PCC）的图像去噪算法。首先，应用非下采样剪切波把含噪图像分解成不同尺度不同方向的子带；其次，非下采样剪切波系数通过PPC训练被分成两类（无噪系数和噪声系数）；最后应用自适应阈值对含噪系数进行去噪。仿真实验结果表明，本文算法不仅拥有较强的抑制噪声能力，而且具有较好的边缘保护能力。

　　关键词： 图像去噪；非下采样剪切波；带有一致性的临近支持向量机；自适应阈值；边缘保护

0 引言

　　图像在获取和传输的过程中，经常会受到各种噪声的污染。噪声的存在将大大降低原图像的分辨率，从而严重影响后续的图像处理，如图像检索、图像分割等。因此，图像去噪始终是图像处理领域的研究热点之一。

　　一般说来，传统图像去噪方法大致可以划分为双边滤波、非局部均值、条件随机场、各向异性扩散和统计模型方法等[1]。

　　双边滤波[2]不仅考虑空间位置上的距离关系，同时也考虑相邻像素灰度值之间的距离关系，然而，它常常使图像过于平滑；非局部均值法[3]利用图像中具有重复结构的性质来去除噪声，可以得到较好的去噪效果，但它计算复杂度高；条件随机场[4]建模比较灵活，且并不需要明确的先验模型。然而，在真实世界中，很难找到拥有全局最小值的能量函数；各向异性扩散法[5]，它能在保持边缘的前提下平滑噪声，获得较好的去噪效果，但是该方法过于平滑图像且边界过于尖锐；统计模型法[6]中，图像处理通常基于简单的统计模型去刻画图像信息，这些信息往往是自然图像的某些共同特征。统计模型的目的就是使用少量的参数捕获这些典型的特征，并且将这些特征在图像处理中作为先验信息使用。

　　近些年来，应用分类方法进行去噪越来越流行，PCC[7]是一种新型分类器，通过计算两个距离（决策过程的测试点与超平面的距离和训练过程的测试点与超平面的距离）使得分类精度得到提高。本文以性能优良的非下采样Shearlet变换为基础，结合先进的PCC分类工具，提出了基于PCC的非下采样Shearle域图像去噪算法。

1 PCC简介

　　支持向量机（SVM）在样本处理的过程中用于解决二次规划的问题十分耗时。O.L.Mangasarian和E.W.Wild提出利用广义特征值的临近支持向量[8]，它通过求解一组非平行超平面，使得计算效率优于SVM。Shao Yuanhai等人提出了带有一致性的临近支持向量机（a Proximal Classifier with Consistency，PCC）[7]，它通过计算两个距离（决策过程的测试点与超平面的距离和训练过程的测试点与超平面的距离），在计算效率提高的同时，使得分类精度也得到了提高。

　　PCC的目标是同时找到一个p+和p-，记作：p+：w+T+b+=0和p-：w-T+b-=0。

　　首先定义正元素X+与正超平面l+的距离：

　　其中M=H+-vH-，N=H--vH+。这样问题的最优解可以转化为求以下两个最小值：

　　在获得上面问题的结果u+=（w+，b+），u-=（w-，b-）后，就可以通过以下判别公式去判断一个样本x∈Rn属于最近超平面所在的类：

2 非下采样Shearlet变换简介

　　图像去噪时，边缘和纹理等主要特征是需要保留下来的，Shearlet变换[9-10]是对纹理和边缘具有很好表示能力的变换，它是Labate和Guo等人通过特殊的具有合成膨胀的仿射系统构造的。其具有的合成膨胀仿射系统可以表示为：

　　如果ΨAB（Ψ）是紧框架，即满足Parseval框架，那么对任意f∈L2（R2）都有：

　　ΨAB（Ψ）的元素其实是合成小波，Aj是与尺度变换相关联的伸缩矩阵，Bl与剪切和旋转等面积不变的几何变换相关联。当时，其形式就是Shearlet变换。本方案采用非下采样Shearlet变换，它不仅具有Shearlet变换的优点：临界采样、局域性、各向异性、多方向性等，而且增加了平移不变性，这使得它在图像去噪领域的应用更加广泛。设参数scale=[s1s2…sL]，则可分解为L尺度，每个尺度分解为2个方向。图1为Zoneplate图像在参数scale=[2 3]下的非下采样Shearlet分解，第一尺度分解为8个方向，第二个尺度分解为4个方向。

3 基于PCC的非下采样Shearlet域去噪

　　在非下采样Shearlet域，有：

　　v=u+e（7）

　　其中u，v，e分别代表原始图像非下采样Shearlet系数、含噪图像非下采样Shearlet系数以及噪声系数。问题就转化成给定v估计u。去噪的步骤如下：

　　（1）对含噪图像进行非下采样Shearlet变换得到不同尺度不同方向的变换子带。

　　（2）有意义系数的测量。自然图像经变换后的高频子带中大部分区域是由小系数组成的，且这些小系数被少量的大系数（边缘和纹理）分隔开来，其中只有边缘和纹理可以被人眼清晰地看见。所以在图像去噪过程中，人们通常把高频子带中边缘和纹理部分尽可能地保留下来，其他部分当成噪声系数滤掉，进而获得不含噪声的图像。边缘和纹理这些需要保留下来的系数定义为“有意义系数”。

　　对变换后子带中的每个系数，使用下面的规则[11]将它们标记为0和1：

　　其中tj为随着分级不同而变化的阈值：

　　通过上述方法构成了一幅“二元图”（图中只包含0和1）。数值为0的点和数值为1但孤立存在的点都认为是噪声点，其他的点是否为噪声点还需要进一步判断。在文献[12]中，只有系数为1的点连在一起的个数大于某一个值S时被认为是有意义系数即非噪声点，而数值小于S的点则为噪声点。在有意义系数最多的一条路径上挑出Nk个点所对应的非下采样Shearlet系数组成特征向量Fk1。在标记为0的系数中随机选择Nk个点对应的非下采样Shearlet系数组成特征向量Fk2。Nk为最长连续路径中点的总数。

　　（3）利用PCC对高频子带的系数进行分类。应用步骤（2）中所生成的特征向量作为训练样本?赘k={Fk1，Fk2}（k=1，2，…，N），送入PCC中，将对应的高频子带的所有非下采样Shearlet系数分成噪声系数和有意义系数。

　　（4）应用阈值函数进行去噪，传统的阈值函数分为硬阈值方法和软阈值方法。

　　硬阈值方法：可以很好地保留信号或者图像的边缘等局部特征，但重构所得的信号或图像可能会出现震荡、伪吉布斯效应等视觉失真现象。

　　软阈值方法：估计出来的系数连续性好，去噪效果也平滑很多，但可能会导致边缘模糊等失真现象，会给信号或图像的重构带来不必要的误差。

　　本文采用全新的阈值函数[13]：

　　经过多级非下采样剪切波变换后使得含噪图像的各尺度、各子带的能量分布不同。本文根据变换的特性及噪声的分布特点，参照文献[14]，选取了合适的自适应阈值：

　　①带噪声图像信号的方差可用下式估计：

　　其中，J表示尺度，K表示该尺度上的方向。

　　②可以得到原始图像信号的标准差估计：

　　③计算每一级尺度参数：

　　其中，j=1，2，J；Lk表示k级子带长度。

　　④得到自适应于不同尺度、不同方向的阈值：

　　（5）通过上述步骤得到去噪后系数，对去噪后的系数进行非下采样Shearlet逆变换，得到去噪图像。

4 仿真实验结果

　　为了检验算法的正确性和有效性，使用标准图像Lena、Barbara叠加均值为零的高斯白噪声进行实验。实验中与几种经典去噪算法进行了对比，结果如表1所示。图2、图3给出了Lena图像的主观视觉去噪结果，并对细节部分进行了局部放大。

　　实验结果表明，本方案不仅客观指标（PSNR）比其他方法要好，而且主观效果也比其他方法好，这说明本算法在去除噪声的同时很好地保护了边缘和纹理信息。

5 结论

　　图像去噪在整个图像处理过程中占有十分重要的地位。本文基于优秀的多尺度几何分析工具（非下采样Shearlet变换）和分类精度更好的临近支持向量机（PCC），采用自适应阈值确定方法，提出了新的图像去噪算法。实验结果表明该方法能够很好地对噪声分布进行估计进而去除图像中的高斯白噪声，提取图像的轮廓细节，改善图像的视觉效果，能够在提高去噪图像的PSNR值的同时保护边缘纹理信息。

　　参考文献

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