0 引言

    2009年ARIKAN E教授提出了极化码^[1]，并且通过数学方法证明了当码长无限长时其性能可以达到香农极限。极化码一经提出就在国际上引起广泛的关注，并且在2016年11月3GPP RAN1 #87会议上确定5G eMBB场景控制信道编码为极化码。

    极化码在实际应用中存在着一些缺点。连续删除(Successive Cancellation，SC)译码对于长码有很好的纠错性能，但是对中短码长译码性能有显著的降低。为了克服这个问题，学者们提出了许多改进方法，如置信传播（Belief Propagation，BP）译码算法^[2]、线性规划（Linear Programming，LP）译码算法^[3]等。这些算法虽然可以提高一部分译码性能，但是译码算法的复杂度太大。一些算法针对SC算法进行了改进，文献[4]提出了连续删除列表(Successive Cancellation List，SCL)译码算法，特别是在冗余循环校验(Cyclic Redundancy Check，CRC)辅助下的SCL的译码性能可以超过最大似然(Maximum Likelihood，ML)译码^[5]。但同时SCL译码的复杂度也随之增加。文献[6]中提出的堆栈SC（SCStack，SCS）译码有和SCL译码相同的译码性能，此外SCS译码的时间复杂度远低于SCL译码，并且在高的信噪比下可以降低搜索宽度L。

    本文对SC译码和SCL译码进行了算法简化，降低了算法的复杂度和时延。并且用数学证明的方法证明了简化算法的可行性。

1 极化码编码

    Polar Code是一种结构性与迭代性极强的信道编码技术，其设计核心理论是对信道的极化，信道极化过程主要包括两部分^[1]：信道联合过程和信道分裂过程。

1.1 信道极化^[1]

    信道联合：对已知的二进制离散无记忆信道W进行N次迭代复制W^N：X^N→Y^N，N=2ⁿ，并对复制所得信道进行递推方式组合。W_N和W^N之间的转移概率关系为：

    图1所示为在高斯信道下，码长为N=4 096的信道极化仿真图。根据仿真结果，可以看出部分信道的信道容量成两极分化。据此可以选出I(W)→1的信道传输信息比特作为信息位，I(W)→0的信道传输固定比特作为冻结位。

1.2 极化码编码

2 SC译码算法

    把β_v传递给p_v。这时v节点的译码消息传递终止，因为在余下译码过程中将不会再次激活节点v。

2.1 简化的SC译码算法

    本节通过简化传统译码的消息传递规则，简化了SC译码算法。并且证明简化译码算法的译码性能是与传统的译码性能相同。

    (1)Rate-0节点

    对于Rate-0节点v，由于它所有后代都是Rate-0节点，因此当v接收到软信息α_v时，不去激活左右的子节点而直接计算β_v：

    对于任意d_v=n-1的Rate-1节点一定满足式(15)。假设d_v=i的Rate-1节点也满足(15)，于是对于d_v=i-1的Rate-1节点v的子节点d_v=i，满足式(15)。因此，根据上面的推导可以证明式(12)成立。

    ②证明式(13)成立：当d_v=n时，对Rate-1节点，式(13)显然是成立，因此，可以通过归纳法证明d_v<n的Rate-1节点也是满足式(13)的。

2.2 算法复杂度分析

3 SCL译码算法

    为了提高SC译码算法在码长较短情况下纠错能力，SCL译码算法被提出，L代表搜索宽度。每次必须有一点被估计，它的可能值0和1都需要被考虑。因为存在L组码字候选，所以每次新的位估计产生2L组候选路径，其中一半需要丢弃。因此，路径度量值(Path Metric，PM)被提出。PM计算如下：

    SCL译码算法是从根节点出发，按广度优先的方法对路径进行扩展；每一层向下一层扩展时，选择当前层中具有较小PM的L条。当没有到达叶节点而搜索宽度已经达到，按照PM的从大到小的排列保留PM小的L条路径。直到到达叶节点，然后选取PM最小路径作为译码结果。

    为了进一步提高极化码的译码性能，编码前在信息比特中添加CRC，然后利用SCL译码算法获得L条搜索路径，最后借助“正确信息比特可以通过CRC校验”的先验信息，对这L条搜索路径进行挑选，从而得到正确译码结果。

4 简化的SCL译码算法

    传统的SCL译码算法每次进行路径扩展时都会产生2L条路径，但是对于冻结比特，由于译码结果是已知的，因此对于冻结比特不进行路径扩展，直接判决比特，路径度量值也不改变，从而减少剪枝算法执行的次数，达到降低算法复杂度的目的。

    由上述的译码过程分析，式(20)PM的计算可以改为：

    因为冻结比特在译码过程中结果是已知的，所以不需要去选择路径，进而PM也不需要计算。另外，由于分裂次数的减少，剪枝算法也随之减少，并最终达到了降低算法复杂度的目的。

5 仿真结果与分析

    如图4所示，在高斯信道下，码长为1 024，码率为0.5，采用二进制相移键控调制，译码输出使用24位CRC校验。搜索宽度L分别为1，2，4，8，16，32 的CA-SCL译码性能，仿真数据是106帧，一帧长1 024个比特。仿真结果表明，随着L的值增加，误码率在逐渐降低，CA-SCL译码算法的性能明显要优于SC(L=1)译码算法。

6 结论

    极化码是目前唯一可以通过数学证明达到香农极限的信道编码技术，并且已经成为5G控制信道的编码方案。本文详细叙述极化码编译码的原理和结构，并提出关于SC译码和SCL译码的优化算法，在不改变译码性能的前提下，降低了算法复杂度。通过对SC译码和SCL译码的性能进行了仿真分析，结果表明，随着搜索宽度L的增加，极化码的译码性更优，但复杂度也随着增加。因此关于SCL的复杂度和数据吞吐量是下一步研究方向。

参考文献

[1] ARIKAN E.Channel polarization：a method for constructing capacity-achieving codes for symmetric binary-input memoryless channels[M].IEEE Press，2009.

[2] ARIKAN E.A performance comparison of polar codes and Reed-Muller codes[J].Communications Letters IEEE，2008，12(6)：447-449.

[3] GOELA N，KORADA S B，GASTPAR M.On LP decoding of polar codes[C].Information Theory Workshop.IEEE，2010：1-5.

[4] TAL I，VARDY A.List decoding of polar codes[J].IEEE Transactions on Information Theory，2012，61(5)：2213-2226.

[5] NIU K，CHEN K.Stack decoding of polar codes[J].Electronics Letters，2012，48(12)：695-697.

[6] NIU K，CHEN K.CRC-aided decoding of polar codes[J].IEEE Communications Letters，2012，16(10)：1668-1671.

[7] BALATSOUKAS-STIMMING A，PARIZI M B，BURG A.LLR-based successive cancellation list decoding of polar codes[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2015，63 (19)：5165-5179.

作者信息:

王  丹，李孟杰，李玉河，贾东升

(重庆邮电大学 重庆市移动通信技术重点实验室，重庆400065)