0 引言

    近年来，光伏发电(PV)在电力系统中的比例逐渐增加，同时电动汽车(EVs)也有逐渐取代内燃机车(ICE)的趋势，这些都导致了电力系统中存在不确定性因素^[1-2]。概率潮流（PLF）可用来评估包含上述不确定性因素的广义电力系统的稳态系统性能。在PLF研究中，输入随机变量（RVs）的不确定性是概率模型。PLF的根本任务是根据给定的输入RVs的统计信息及其多重相关性，表征结果变量（母线电压和支路功率流）的概率分布^[3-4]。PLF评价的方法包括数值计算、近似分析方法。Monte-Carlo模拟（MCS）是PLF的一种数值计算方法，虽然计算准确，但是复杂度很高，可以作为评价PLF算法精度的一种对比算法。基于高阶累积量的分析方法是一种有效的计算方法，但是对于输入RVs的过度依赖性，是具有挑战性的因素^[5]。

    如今，PLF的主要研究热点是光伏发电不确定性对电力系统的影响分析，以及电动汽车充电引起的不确定性对配电系统性能的影响^[6]。文献[7]利用联合累积量法分析了光伏发电高穿透率对输电系统性能的影响，PLF也适用于分析考虑光伏发电的配电系统。另一方面，PLF用于研究考虑电动汽车充电过程分析的文献也很多。文献[8]中，所有EV充电过程都是采用单一排队模型来模拟的。文献[9]中，考虑了电动汽车的每日到达时间、发车时间和行驶距离，提出了电动汽车充电模型。文献[10]中，使用在交通管理局收集到的实时数据构建了电动汽车的充电模型，可以预测未来电动汽车充电的数量。文献[11]中，为了避免在高峰负荷时间充电，开发了一个基于使用时间的电动汽车充电模型等，此类文献还有很多，不再赘述。

    根据以上综述可知，没有文献综合考虑光伏发电和电动汽车充电需求的集成相关问题，没有考虑公共充电站和小区充电站充电速度问题，对于电网稳定性的评价存在一定的片面性。对此，本文主要是针对上述两个问题构建考虑光伏发电和电动汽车充电的PLF影响分析问题。分类考虑了插入式混合动力电动汽车（PHEV）和电池电动车（BEV）充电问题，并采用不同的排队模型表征小区充电和公共充电站充电模型。然后，采用基于Cornish-Fisher级数的扩展累积估计方法对模型系统进行估计。

1 概率潮流模型

1.1 输电系统

    在电力系统中，如果其由n条母线和1条分支线路构成，则其线性PLF模型为：

式(1)中，x、y和z分别是母线电压、母线功率注入和线路功率流的矢量；x⁰、y⁰和z⁰分别是x、y和z的期望值；a_ij、b_ij是灵敏度系数；D和C分别代表该变量处于“离散”和“连续”状态；x_i0、z_i0可以从确定性潮流中获得。

1.2 径向分布系统

1.2.1 母线电压幅值灵敏度矩阵计算

    考虑由n个母线组成的径向分布系统，根母线的编号为0，其余母线的编号依次为1，2，…，n-1，任意k母线的电压幅值可表示为^[11]：

其中，|V₀|表示根母线电压的大小；Δ|V_k|表示从根母线到第k母线的总压降；P_i和Q_i分别为母线i上的有功和无功负载功率；R_ik和X_ik分别表示从根母线开始到母线i和母线k的供电线路的总电阻和总电抗。式(3)的紧凑形式模型可以表示为：

其中，K₁是母线电压幅值灵敏度矩阵，负载功率P和Q为RVs。

1.2.2 支路潮流灵敏度矩阵计算

    令径向系统有l个分支数，可通过两步过程建立支路潮流灵敏度矩阵。首先，假设系统是无损的，无损支路潮流灵敏度矩阵K₂可利用母线负载函数进行计算。然后，支路损耗可表示为母线负荷功率函数，并可计算支路损耗灵敏度矩阵K₃。最后，最后，利用K₂和K₃的总和可获得支路潮流的灵敏度矩阵K₄。考虑到无损耗系统，任意支路i-j(母线i与母线j相连)的有功和无功支路功率流可表示为：

    根据式(8)~式(10)，可获得式(7)的紧凑形式模型为：

    最后，K₄可利用K₂和K₃计算得到，即K₄=K₂+K₃。

1.3 网格分布系统

    与径向分布系统不同，在网格分布系统中无法直接获得案例的灵敏度矩阵K₁和K₄。首先，通过在其中一个局部母线上断开循环，可将网状分布系统转换为径向分布系统。这会导致产生循环断点(LBPs)，如图2所示^[12]。

    图2中，循环断点j₁和j₂上的注入电流分别为I_ij和-I_ij，其中I_ij是环路断开前流经母线j的电流。则可利用类似径向分布系统的计算过程获得矩阵K₁和K₄的计算结果。

    为了计算LBP的注入电流，可采用等效矩阵[Z_Th]方法，LBP的功率注入过程如图3所示。下面的迭代过程可以计算获得注入电流矢量[I_t]的元素I_tj：

    (1)构建等效矩阵[Z_Th]；

    (2)利用向前向后扫描迭代法，计算LBPs两端的电压降，第一次迭代的电流的初始值设定为零；

    (3)注入电流的增量计算形式为[ΔI_t]=[Z_Th]^-1[V_Th]，其中[V_Th]是LBPs两端包含电压降的矢量；

    (4)在任意的k步迭代中，利用下式更新LBP电流注入：[I_t]^k=[I_t]^k-1+[ΔI_t]^k。

    (5)重复执行步骤(2)~步骤(4)，直到上述计算过程收敛，收敛的阈值可设定为0.01 V。

    同时，根据图3所示过程，令S_j为母线j上的复杂的功率需求，在创建了循环断点j₁和j₂后，循环断点j₁和j₂上的复杂的功率需求计算形式为：

式中，V_j1和V_j2分别为循环断点j₁和j₂上电压。

2 考虑光伏发电和电动汽车充电的不确定模型

2.1 光伏发电功率

    在光伏系统中，真正的光伏设备发电功率P_PV对于太阳辐照度具有较强的依赖性，但是因为气候条件（云和雾）的不确定性，导致其模型预测存在较大困难。根据文献[10]，光伏设备发电功率P_PV可计算为：

2.2 电动汽车功率需求

    目前，有两种类型的电动汽车，第一种是由电池和ICE共同进行供电的PHEV，第二种是只由电池进行供电的BEV。在电动汽车充电过程中，因为每个电动车有不同的电池型号和容量，因此它们的充电过程是不同的，并具有时变特性。对于PHEV类型电动汽车，工作状态可表示为：

其中，Z是标准高斯RV。分布参数μ_m和σ_m分别是M_D自然对数的平均值和标准偏差值，μ_m和σ_m分别与非对数平均值μ_md和标准偏差σ_md有关：

    利用排队理论可得到BEV和PHEV的融合充电需求。对充电站建立排队模型M/M/C，其中，第一个M表示客户到达时间，其满足均值时间为T_λ的指数队列。第二个M表示均值时间为T_μ的顾客服务时间，C表示每次服务的最大客户数。等待服务客户数被认为是无限的。在任何时刻客户数量为n₁概率为：

其中，U是均匀分布的RV。电动汽车需要在最小时间T_min内完成充电。此外，充电时间因为电池容量的限制不应超过最大时间T_max。BEV中不考虑最大时间问题，因为其允许完全充电。由于充电站需要快速充电，因此使用3级充电(400 V/63 A)。但是，在小区充电情况下，慢充电过程是可以接受的，可考虑1级充电过程(230 V/ 16 A)。充电电压V和最大电流I_max是根据充电水平确定的。电动汽车的总充电需求可以计算为：

其中，I_i是第i个EV的充电电流。

3 基于Cornish-Fisher扩展累积估计

3.1 结果变量的累积量估计

    对于两输入情形，两个相关联的EVs输入X₁和X₂，其累积量计算公式为：

3.2 结果变量的近似概率分布

    使用Cornish-Fisher级数展开法（CFM）构建结果变量的前五级近似概率分布。利用Q标准与高斯分布分位数Q(q)，构建变量Y的CFM近似结果累积概率图，本文中选取q=1 000。结果变量Y分量可以用式(39)和式(40)进行近似：

3.3 计算过程

    为了获得灵敏度矩阵模型的PLF，MCS和ECM的计算程序如下：

    过程1：供电系统蒙特卡洛模拟

    (1)利用多项式正态变换技术按给定的相关系数矩阵获得相关样本输入RVs的合并。

    (2)采用Newton-Raphson迭代法对每一组输入RVs样本集进行模拟，从而获得结果变量的样本输出。

    (3)结果变量的统计矩和概率分布可以从步骤(2)中获得的样本中建立。

    过程2：配电系统蒙特卡洛模拟

    (1)PHEVs和BEVs的瞬态充电数量，对于公共充电站利用公式（26）随机生成，对于小区充电站利用公式（27）随机生成。然后，对于每种情形，分别执行步骤(2)~步骤(8)。

    (2)根据公共充电站和小区充电站的市场份额选取不同的PHEVs和BEVs参数。

    (3)对于PHEVs，利用公式（18）生成P_EV和B_CAP的值。对于BEVs，令P_EV=1，则利用均值μ_CAP和方差σ_CAP的高斯分布函数随机生成B_CAP。如果B_CAP的计算值超出限定值则将其设定为其设定值边界值。

    (4)利用公式（20）计算EV的每英里的能量消耗M_E，利用公式（21）随机生成EV每天行驶的英里数M_D。

    (5)对于PHEV利用公式（24）计算每辆电动车的每日充电量E_D，对于BEV，每辆电动车的每日充电量E_D=M_DM_E。

    (6)利用公式（28）随机生成充电时间T。

    (7)对于PHEV，其中I_max和V取决于第3节所述的充电级别。

    (8)利用公式（29）计算总的充电需求。

    (9)对于给定的相关系数矩阵，输入样本RVs之间的相关性可采用多项式正变换技术获得。

    (10)通过前推回代迭代法模拟每一组输入RVS样品获得样品的结果变量输出。

    (11)对于网格系统情形，首先将系统转换成径向分布系统，见1.2节所述，然后执行步骤(10)。

    (12)结果变量的统计矩和概率分布可以从步骤(10)和步骤(11)获得的样本中建立。

    过程3：Cornish-Fisher级数扩展累积估计

    (1)计算五级累积量：①随机生成的EV负载需求，见过程1~2；②其他输入RVs，例如光伏发电及其配电系统的融合总线负荷功率。

    (2)计算母线电压和支路潮流灵敏度矩阵。

    (3)利用步骤(2)和3.1节内容计算结果变量的前五级累积量输出。

    (4)利用3.2节使用Cornish-Fisher级数展开法近似结果变量的累积概率图。

4 实验分析

    本节中将分别在供电和配电系统中与MCS的性能进行了比较，同时考虑方案的准确性和计算效率，验证所提方法的有效性。

4.1 Ward Hale 6-bus供电系统测试

    Ward Hale 6-bus系统是由2个发电机组、7条供电线路和2个变压器分支电路构成的简单供电系统^[13-14]。集合(PV₁，PV₂)和(PV₃，PV₄)分别代表光伏发电机组1和光伏发电机组2。光伏发电机组线性化模型可利用式(15)表示。

    考虑输入RVs相关和不相关两种情形，对于相关输入RVs，输入RVs相关系数保持固定。假定R₁、R₂、R₃和R₄四组RVs与T₁、T₂、T₃和T₄四组RVs之间的固定相关系数为0.3，其余的相关系数可构成矩阵形式，如表1所示。

    对于不相关输入RVs，输入RVs是不相关的，分别对光伏发电对结果变量的影响在基本情况下和光伏渗透情况下进行研究。绝对误差百分比e_X作为误差评价指标，其中e_X=(e_μ+e_σ)/2，误差均值e_μ和方差均值e_σ的具体计算形式为：

    图4给出了系统在基本情况下（25%光伏渗透）和增加渗透后（50%光伏渗透）的概率密度累积量随功率损耗的变化曲线。

    根据图4实验结果可知，在基本情况下（25%光伏渗透）和增加渗透两种系统中，其概率密度随功率损耗的增加而增大，但是总体上光伏渗透越小概率密度累积量越小。

    由于恒定功率因数假设，总线3、5和6的负载功率的有功和无功分量是完全相关的。因为相关系数独立于电网规模，Q_D3、Q_D5和Q_D6的相关系数矩阵与表2设定相同。在表2中比较了考虑输入RVs相关和不相关两种情形下使用该模型的有效性。

    根据表2实验结果可知，在考虑输入RVs相关和不相关两种情形下，在计算时间上，本文方法相对于蒙特卡洛方法具有明显的优势，本文方法计算时间保持在10 s以下，而对比算法的计算时间在80 s以上。在精度指标上，因为蒙特卡洛采用的是大量选取样本点进行模拟的方法，因此其可近似于真实值，本文将其作为参照，可见本文算法与蒙特卡洛方法在误差上保持在7%以下，体现了较高的精度性能。

4.2 典型IEEE 140-bus配电模型测试

    本实验采用的实验模型如图5所示，利用图5所示IEEE 140-bus配电模型^[15]，结合本文所提出的概率潮流计算模型进行实验分析，对比算法选取本文算法、三点估计和蒙特卡洛三种方法。

    图5所示的配电模型的总负荷是26.33+j18.61MV·A；该配电模型的电源点有三个，分别位于标号136、123和107位置处，其注入功率分别是6+j3.5MV·A，4+j2.5MV·A和7+j4.5MV·A。配电模型的馈线电阻是r=0.27 Ω/km，馈线电抗是x=0.327 Ω/km。

    这里以南京市玄武区2006年到2016年共10年间的气候监测数据作为模拟数据参数。以2013年为例，选取四个具有季节特点的日期的检测数据，时间点分别是1月15日，4月22日，8月9日，11月18日，分别位于春夏秋冬四个季节中，具体信息见表3所示。

    表3中，给出了南京市玄武区2013年一年中选取的四个时间节点的赤纬角、日序数、日出日落两个标志性事件的时间。IEEE 140-bus配电模型的发电设备位于节点99位置处，该配电模型的峰瓦值参数取值是16 MW；该配电模型的覆盖区域内的PHEVs和BEVs的数量分别是2 900台和600台。电动汽车进行充电的节点位置是137节点处和113节点处，分别是住宅区的慢充节点和公共区域的快充节点，电动汽车在进行充放电过程中的功率是3.7 kW，这个过程中的能量转换率是0.80，功率因子参数的取值是0.98。图6~图7是采用三点估计法、本文算法和蒙特卡洛模拟方法获得的1月15日10：00~11：00时间段内126节点和52节点的有功功率和电压幅值两个参数的概率密度。在上述选取的四个时间点上，本文方法和三点估计方法与蒙特卡洛方法相比在126节点和节点52的有功功率和电压幅值的模拟误差以及计算时间对比情况见表4结果所示。

    分析上述图6~图7所示的有功功率和电压幅值两个参数的概率密度取值情况，本文方法与蒙特卡洛方法获得的线路126和节点52的有功功率和电压幅值两个参数的概率密度的偏差控制在5%以内，而采用三点估计方法获得的线路126和节点52的有功功率和电压幅值两个参数的概率密度的偏差在10%以内。

5 结论

    现代社会中，随着经济和科技的快速发展，新能源技术快速发展和应用，针对这种发展背景，本文研究了考虑包含光伏发电和电动汽车充电的电力系统模型设计问题。特别是，光伏发电和电动汽车充电过程中存在的不确定性、时变性，通过理论分析得到了其概率潮流计算模型，并采用不同的排队模型表征小区充电和公共充电站充电模型。然后，采用基于Cornish-Fisher级数的扩展累积估计方法对模型系统进行估计，实现了估计模型的降阶处理，提高了计算效率。实验结果显示，所提方法具有相对更高的计算精度和计算效率。

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作者信息:

刘媛媛

（南京大学 新能源学院，江苏 南京210000）